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课时提升作业(三)
集合间的基本关系
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列四个结论中,正确的是　(　　)
A.0={0}　　　　　　 B.0∈{0}　
C.0⊆{0}　　　　 D.0∈{∅}
【解析】选B.{0}是含有1个元素0的集合,故0∈{0}.
【补偿训练】如果M={x|x+1>0},则　(　　)
A.∅∈M B.∅=M C.{0}∈M D.{0}⊆M
【解析】选D.M={x|x+1>0}={x|x>-1},所以{0}⊆M.
2.(2015·惠州高一检测)下列四个集合中,是空集的是　(　　)
A.{x|x+3=3}
B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}
C.{x|x2≤0}
D.{x|x2-x+1=0,x∈R}
【解析】选D.对A,{x|x+3=3}={0};对B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)};对C,{x|x2≤0}={0};对D,由于Δ=(-1)2-4=-3<0,即方程x2-x+1=0无解,故{x|x2-x+1=0,x∈R}=∅.
3.(2015·浏阳高一检测)已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为　(　　)
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
【解析】选C.由题意知,x=-2,2,即A={-2,2},故其真子集有3个.
【误区警示】本题易忽视真子集这一条件而误选D.
4.已知集合M={x|y2=2x,y∈R}和集合P={(x,y)|y2=2x,y∈R},则两个集合间的关系是　(　　)
A.MP　　　　 B.PM
C.M=P　　　　　 D.M,P互不包含
【解析】选D.由于两集合代表元素不同,即M表示数集,P表示点集,因此M与P互不包含,故选D.
【误区警示】解答本题易忽视集合的属性而误选C.
5.(2015·临沂高一检查)已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是　(　　)
【解析】选B.由N={x|x2+x=0}={-1,0},得NM.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用适当符号填空:
A　　B,A　　C,{2}　　C,2　　C.
【解析】A={1,2},B={1,2},C={0,1,2,3,4,5,6,7},
所以A=B,AC,{2}C,2∈C.
答案:=　 　　∈
7.(2015·玉溪高一检测)已知集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x≥m},若A⊆B,则实数m的取值范围为　　　　　　.
【解题指南】根据集合间的关系,借助数轴求解.
【解析】将集合A,B表示在数轴上,如图所示,
所以m≤-2.
答案:m≤-2
8.设x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则A,B的关系是　　　　.
【解析】因为B=={(x,y)|y=x,且x≠0},故BA.
答案:BA
【误区警示】解答本题易忽视集合B中x≠0而误认为A=B.
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.
【解析】因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},
所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.
所以A的子集有:∅,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},
{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
10.(2015·成都高一检测)若集合A={x|(k+1)x2+x-k=0}有且仅有两个子集,求实数k的值.
【解析】集合A有且仅有两个子集说明A中仅有一个元素,那么对于方程(k+1)x2+x-k=0,若k+1=0,即k=-1,方程即为x+1=0,x=-1,此时A={-1},满足题意;
若k+1≠0,则需Δ=0,即12-4(k+1)(-k)=0,
解得k=-,此时A={-1},满足题意.
所以实数k的值为-1或-.
(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·枣庄高一检测)集合A={2n+1|n∈Z},集合B={4k±1|k∈Z},则A与B间的关系是　(　　)
A.A∈B　　　 B.AB　 C.A∉B　　　 D.A=B
【解析】选D.因为整数包括奇数与偶数,所以n=2k或2k-1(k∈Z),当n=2k时,2n+1=4k+1,当n=2k-1时,2n+1=4k-1,故A=B.
2.集合B={a,b,c},C={a,b,d};集合A满足A⊆B,A⊆C.则满足条件的集合A的个数是　(　　)
A.8　 B.2　　 C.4　 D.1
【解析】选C.因为A⊆B,A⊆C,所以集合A中的元素只能由a或b构成.所以这样的集合共有22=4个.即:A=∅或A={a}或A={b}或A={a,b}.
【补偿训练】若集合A={1,3,x},B={x2,1}且B⊆A,则满足条件的实数x的个数
是　(　　)
A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4
【解析】选C.因为B⊆A,所以x2∈A,又x2≠1,
所以x2=3或x2=x,所以x=±或x=0.故选C.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系为　　　　.
【解析】因为xy>0,所以x,y同号,又x+y<0,所以x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P也表示第三象限内的点,故M=P.
答案:M=P
4.(2015·抚州高一检测)若A={1,2},B={x|x⊆A},则B=　　　　　.
【解题指南】正确解答本题的关键是弄清集合B的含义,即它是由集合A的所有子集组成的集合.
【解析】由于x⊆A,即x是集合A的子集,故B={∅,{1},{2},{1,2}}.
答案:{∅,{1},{2},{1,2}}
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知A={x|x<-1或x>2},B={x|4x+a<0},当B⊆A时,求实数a的取值范围.
【解析】因为A={x|x<-1或x>2},
B={x|4x+a<0}=,
因为A⊇B,所以-≤-1,即a≥4,
所以a的取值范围是a≥4.
【拓展延伸】由集合间关系求解参数的三部曲
第一步:弄清两个集合之间的关系,谁是谁的子集;
第二步:看集合中是否含有参数,若含参数应考虑参数使该集合为空集的情形;
第三步:将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组),求出相关的参数的值或取值范围.
6.已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},又知非空集合C是这样一个集合:其各元素都加2后,就变为A的一个子集,若各元素都减2后,则变为B的一个子集,求集合C.
【解析】由题设条件知C⊆{0,2,4,6,7},
C⊆{3,4,5,7,10},所以C⊆{4,7},又因为C非空,
所以C={4},{7}或{4,7}.
【补偿训练】已知集合A={1,1+d,1+2d},集合B={1,q,q2},若A=B,求实数d与q的值.
【解析】由A=B,得①或②
解①,得此时A=B={1}与A,B中含有3个元素矛盾,舍去.解②,得或(舍去),
当q=-,d=-时,A=B=,符合题意.所以q=-,d=-.
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