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学业分层测评（二十）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·新余高二检测)某服装制造商有10 m2的棉布料，10 m2的羊毛料和6 m2的丝绸料，做一条裤子需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裙子需要1 m2的棉布料，1 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为(　　)
A.z＝20x＋40y
B.z＝20x＋40y
C.z＝20x＋40y
D.z＝40x＋20y
【解析】　由题意易知选A.
【答案】　A
2．(2015·福建高考)若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值等于(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－2
C．－ D．2
【解析】　作出可行域如图，
由图可知，当直线z＝2x－y过点A时，z值最小．
由得点A，
zmin＝2×(－1)－＝－.
【答案】　A
3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　作出可行域如图所示．
目标函数z＝3x－y可转化为y＝3x－z，作l0：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－，在B点处z取最大值为6.
【答案】　A
4．已知实数x，y满足条件若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为(　　)
A．1 B.
C．－ D．－1
【解析】　作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.
【答案】　A
5．(2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
【解析】　设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.
【答案】　D
二、填空题
6．满足不等式组并使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．
【解析】　首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M(0,5)时截距最大，此时z最大．
【答案】　(0,5)
7．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________. 【导学号：05920078】
【解析】　不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
设t＝x＋2y，
则y＝－x＋，
当x＝0，y＝0时，t最小＝0.
z＝3x＋2y的最小值为1.
【答案】　1
8．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是________．
【解析】　由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点P(x0，y0)，使x0－2y0＝2成立，只需点A(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下方即可，即－m－2m－2>0，解得m<－.
【答案】　
三、解答题
9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于多少？
【解】　设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x，y，则根据条件x，y满足的约束条件为
目标函数z＝450x＋350y.作出约束条件所示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x＋350y－z＝0知，当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，
即zmax＝450×7＋350×5＝4 900.
10．(2015·辽宁三校联考)变量x，y满足条件求(x－2)2＋y2的最小值．
【解】　不等式组在平面直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．
设P(x，y)是该区域内的任意一点，则(x－2)2＋y2的几何意义是点P(x，y)与点M(2,0)距离的平方．由图可知，当点P的坐标为(0,1)时，|PM|最小，所以|PM|≥＝，所以|PM|2≥5，即(x－2)2＋y2≥5.
[能力提升]
1．(2014·北京高考)若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(　　)
A．2　　　　　　　　 B．－2
C. D．－
【解析】　作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx－y＋2＝0与x轴的交点为A－，0.
∵z＝y－x的最小值为－4，∴＝－4，解得k＝－，故选D.
【答案】　D
2．(2014·山东高考)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(　　)
A．5 B．4
C. D．2
【解析】　法一　线性约束条件所表示的可行域如图所示．由
解得所以z＝ax＋by在A(2,1)处取得最小值，故2a＋b＝2，
a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝(a－4)2＋4≥4.
法二　画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a＋b＝2.又因为a2＋b2是原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，故当为原点到直线2a＋b－2＝0的距离时最小，所以的最小值是＝2，所以a2＋b2的最小值是4.故选B.
【答案】　B
3．(2014·浙江高考)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】　画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a>0，数形结合知，满足即可，
解得1≤a≤，
所以a的取值范围是1≤a≤.
【答案】　
4．设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，若S1≤13，S4≥10，S5≤15，求a4的最大值．
【解】　可将此题看成关于a1和d的线性规划问题，根据题意可知
化简为求a4＝a1＋3d的最大值，将其转化为求z＝x＋3y的最大值问题，不等式组表示的平面区域如图所示．
由z＝x＋3y，得y＝－x＋，平移直线y＝－x，由图可知，
当直线y＝－x＋过点A时，z有最大值．由得A(1,1)，
所以zmax＝1＋1×3＝4，
即a4的最大值为4.