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学业分层测评（六）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a＞2，b＞2，则(　　)
A．ab≥a＋b B．ab≤a＋b
C．ab＞a＋b D.ab＜a＋b
【解析】　∵a＞2，b＞2，∴－1＞0，－1＞0，
则ab－(a＋b)＝a＋b＞0，
∴ab＞a＋b.
【答案】　C
2．已知a＞b＞－1，则与的大小关系为(　　)
A.＞ B.＜
C.≥ D.≤
【解析】　∵a＞b＞－1，∴a＋1＞0，b＋1＞0，a－b＞0，则－＝＜0，∴＜.
【答案】　 B
3．a，b都是正数，P＝，Q＝，则P，Q的大小关系是(　　)
【导学号：32750031】
A．P＞Q B．P＜Q
C．P≥Q D.P≤Q
【解析】　∵a，b都是正数，
∴P＞0，Q＞0，
∴P2－Q2＝－()2
＝≤0(当且仅当a＝b时取等号)，
∴P2－Q2≤0.
∴P≤Q.
【答案】　D
4．下列四个数中最大的是(　　)
A．lg 2 B．lg
C．(lg 2)2 D.lg(lg 2)
【解析】　∵0＜lg 2＜1＜＜2，
∴lg(lg 2)＜0＜lg ＜lg 2，
且(lg 2)2＜lg 2，故选A.
【答案】　A
5．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系是(　　)
A．a5b5
C．a5＝b5 D.不确定
【解析】　设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，
则a5－b5＝a1q4－(b1＋4d)＝a1q4－(a1＋4d)．
∵a3＝b3，∴a1q2＝b1＋2d，即a1q2＝a1＋2d，
∴aq4＝(a1＋2d)2＝a＋4a1d＋4d2，
∴a5－b5＝
＝＝.
∵a1>0，d≠0，∴a5－b5>0，
∴a5>b5.
【答案】　B
二、填空题
6．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P>Q，则实数a，b满足的条件为________.
【导学号：32750032】
【解析】　P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)
＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a
＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a
＝(ab－1)2＋(a＋2)2.
∵P>Q，∴P－Q>0，
即(ab－1)2＋(a＋2)2>0，
∴ab≠1或a≠－2.
【答案】　ab≠1或a≠－2
7．若x＜y＜0，M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝(x2－y2)(x＋y)，则M，N的大小关系为________．
【解析】　M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，
∴－2xy(x－y)＞0，∴M－N＞0，即M＞N.
【答案】　M＞N
8．已知a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，则与的大小关系是________．
【解析】　∵a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，
∴(1＋a)(1－b)＝1＋a－b－ab＞1.
从而＝＞1，
∴＞.
【答案】　＞
三、解答题
9．已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.
【证明】　∵a＞2，
则a－1＞1，
∴loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0，
由于＝loga(a－1)·loga(a＋1)
＜
＝.
∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2，
∴＜＝1，
因此＜1.
∵log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.
10．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．
(1)求q的值；
(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．
【解】　(1)由题设知2a3＝a1＋a2，
即2a1q2＝a1＋a1q.
又a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或－.
(2)若q＝1，则Sn＝2n＋＝＝.
当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝＞0，
故Sn＞bn.
若q＝－，则Sn＝2n＋·＝＝.
当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝－，
故对于n∈N＋，当2≤n≤9时，Sn＞bn；
当n＝10时，Sn＝bn；
当n≥11时，Sn＜bn.
[能力提升]
1．已知a＞0，b＞0，m＝＋，＝＋，p＝，则m，n，p的大小顺序是(　　)
A．m≥n＞p B．m＞n≥p
C．n＞m＞p D.n≥m＞p
【解析】　由已知m＝＋，n＝＋，得a＝b＞0时m＝n，可否定B，C.比较A，D项，不必论证与p的关系．取特值a＝4，b＝1，则m＝4＋＝，n＝2＋1＝3，∴m＞n，可排除D.
【答案】　A
2．设m＞n，n∈N*，a＝(lg x)m＋(lg x)－m，b＝(lg x)n＋(lg x)－n，x＞1，则a与b的大小关系为(　　)
A．a≥b B．a≤b
C．与x值有关，大小不定 D.以上都不正确
【解析】　要比较a与b的大小，通常采用比较法，根据a与b均为对数表达式，只有作差，a与b两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出a与b的大小．
a－b＝lgmx＋lg－mx－lgnx－lg－nx
＝(lgmx－lgnx)－
＝(lgmx－lgnx)－
＝(lgmx－lgnx)
＝(lgmx－lgnx).
∵x＞1，∴lg x＞0.
当0＜lg x＜1时，a＞b；
当lg x＝1时，a＝b；
当lg x＞1时，a＞b.
∴应选A.
【答案】　A
3．一个个体户有一种商品，其成本低于元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．
【解析】　设这种商品的成本费为a元．
月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×2.5%，
月末售出的利润为L2＝120－2%a，
则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a
＝0.045，
∵a＜，∴L1＜L2，月末出售好．
【答案】　月末
4．若实数x，y，m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
【证明】　∵a＞0，b＞0，且a≠b，
∴a2b＋ab2＞2ab，a3＋b3＞2ab.
∴a2b＋ab2－2ab＞0，
a3＋b3－2ab＞0.
∴|a2b＋ab2－2ab|－|a3＋b3－2ab|
＝a2b＋ab2－2ab－a3－b3＋2ab
＝a2b＋ab2－a3－b3＝a2(b－a)＋b2(a－b)
＝(a－b)(b2－a2)＝－(a－b)2(a＋b)＜0，
∴|a2b＋ab2－2ab|＜|a3＋b3－2ab|，
∴a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.