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模块综合测评(二)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列1,3,7,15，…的通项an可能是(　　)
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2n－1
【解析】　取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.
【答案】　C
2．不等式x2－2x－5>2x的解集是(　　)
A．{x|x≤－1或x≥5}
B．{x|x<－1或x>5}
C．{x|1D．{x|－1≤x≤5}
【解析】　不等式化为x2－4x－5>0，所以(x－5)(x＋1)>0，所以x<－1或x>5.
【答案】　B
3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于(　　)
A．16 B．32
C．64 D．256
【解析】　∵{an}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a(an>0)，∴a8·a10·a12＝a＝64.
【答案】　C
4．下列不等式一定成立的是(　　)
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
【解析】　
选项
具体分析
结论
A
lg≥lg＝lg x，当且仅当x2＝时，即x＝
不正确
B
当sin x<0时，不可能有sin x＋≥2
不正确
C
由基本不等式x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|
正确
D
因为x2＋1≥1，所以≤1
不正确
【答案】　C
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsin A，则△ABC的面积等于(　　)
A. B.
C．1 D.
【解析】　∵a＝3bsin A，
∴由正弦定理得sin A＝3sin Bsin A，
∴sin B＝.
∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝acsin B＝×3×＝，故选 A.
【答案】　A
6．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是(　　)
A．T10 B．T13
C．T17 D．T25
【解析】　由等比数列的性质得
a3a6a18＝a6a10a11＝a8a9a10＝a，而T17＝a，故T17为常数．
【答案】　C
7．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于(　　)
A．－3 B．1
C．－1 D．3
【解析】　由题意：A＝{x|－1∴a＋b＝－3.
【答案】　A
8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】　远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S7＝381.
请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a1.
代入公式Sn＝，
即381＝，
∴a1＝＝3.
∴此塔顶有3盏灯．
【答案】　B
9．若实数x，y满足则的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(0,1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】　实数x，y满足
的相关区域如图中的阴影部分所示．
表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，的取值范围为(1，＋∞)．
【答案】　C
10．在△ABC中，若c＝2bcos A，则此三角形必是(　　)
A．等腰三角形
B．正三角形
C．直角三角形
D．有一角为30°的直角三角形
【解析】　由正弦定理得sin C＝2cos Asin B，
∴sin (A＋B)＝2cos Asin B，
即sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B，
即sin Acos B－cos Asin B＝0，
所以sin (A－B)＝0.
又因为－π所以A－B＝0，
即A＝B.
【答案】　A
11．函数y＝(x>1)的最小值是(　　)
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
【解析】　∵x>1，
∴x－1>0.
∴y＝＝
＝
＝
＝x－1＋＋2
≥2＋2.
【答案】　A
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tan B＝，·＝，则tan B等于(　　)
A. B.－1
C．2 D．2－
【解析】　由·＝，得accos B＝，
∴2accos B＝1.
又由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－1，
∴a2－b2＋c2＝1，
∴tan B＝＝2－.
【答案】　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式
2x＋by＋1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是______. 【导学号：05920089】
【解析】　点P(1，－2)关于原点的对称点为点P′(－1，2)．
由题意知
解得【答案】　
14．(2015·江苏高考)设数列满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________．
【解析】　由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.
又∵a1＝1，
∴an＝(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，
∴an＝(n∈N*)．
∴＝＝2.
∴S10＝2×＝2×＝.
【答案】　
15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．
【解析】　∵＝＝＝2R，a＝2，
又(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C
可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，
∴a2－b2＝c2－bc，
∴b2＋c2－a2＝bc.
∴＝＝＝cos A，
∴A＝60°.
∵在△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60°
＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，
∴S△ABC＝·bc·sin A≤×4×＝.
【答案】　
16．若<<0，已知下列不等式：
①a＋b|b|；③a2；
⑤a2>b2；⑥2a>2b.
其中正确的不等式的序号为______．
【解析】　∵<<0，
∴b又b故②⑤错，可证①④⑥正确．
【答案】　①④⑥
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
【解】　(1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d，
∵S12>0，S13<0，
∴
即
∴－(2)∵S12>0，S13<0，
∴
∴
∴a6>0，
又由(1)知d<0.
∴数列前6项为正，从第7项起为负．
∴数列前6项和最大．
18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，求的最大值和最小值．
【解】　∵
∴
∵0≤α≤1,1≤β≤2，
∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.
∴
建立平面直角坐标系aOb，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．
令k＝，可以看成动点P(a，b)与定点A(1,3)的连线的斜率．
取B(－1,0)，C(－3,1)，
则kAB＝，kAC＝，
∴≤≤.
故的最大值是，最小值是.
19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b－c)cos A－acos C＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，试求当△ABC的面积取最大值时，△ABC的形状. 【导学号：05920090】
【解】　(1)∵(2b－c)cos A－acos C＝0，
由余弦定理得(2b－c)·－a·＝0，
整理得b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，
∵0∴A＝.
(2)由(1)得b2＋c2－bc＝3及b2＋c2≥2bc得bc≤3.
当且仅当b＝c＝时取等号．
∴S△ABC＝bcsin A≤×3×＝.
从而当△ABC的面积最大时，a＝b＝c＝.
∴当△ABC的面积取最大值时△ABC为等边三角形．
20．(本小题满分12分)已知函数y＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
【解】　(1)∵函数y＝的定义域为R，∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
①当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
②当a≠0时，则
解得0综上可知，a的取值范围是[0,1]．
(2)由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0.
∵0≤a≤1，
∴①当1－a>a，
即0≤a<时，
a②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；
③当1－a1－a综上，当0≤a<时，原不等式的解集为(a,1－a)；
当a＝时，原不等式的解集为∅；
当21．(本小题满分12分)若数列{an}满足a－a＝d，其中d为常数，则称数列{an}为等方差数列．已知等方差数列{an}满足an>0，a1＝1，a5＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解】　(1)由a＝1，a＝9，
得a－a＝4d，
∴d＝2.
a＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∵an>0，
∴an＝.
数列{an}的通项公式为an＝.
(2)an＝(2n－1)，
设Sn＝1·＋3·＋5·＋…＋(2n－1)·，①
Sn＝1·＋3·＋5·＋…＋(2n－1)· ，②
①－②，得
Sn＝＋2－(2n－1)·
＝＋2·－(2n－1)·，
即Sn＝3－，
即数列的前n项和为3－.
22．(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)
图1
【解】　轮船从点C到点B用时80分钟，从点B到点E用时20分钟，而船始终匀速航行，
由此可见，BC＝4EB.
设EB＝x，则BC＝4x，
由已知得∠BAE＝30°，
在△AEC中，由正弦定理得
＝，
即sin C＝＝＝，
在△ABC中，由正弦定理得
＝，
即AB＝＝＝＝.
在△ABE中，由余弦定理得
BE2＝AE2＋AB2－2AE·ABcos 30°
＝25＋－2×5××＝，
所以BE＝(千米)．
故轮船的速度为v＝÷＝(千米/时)．