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首页 高三 高中数学选修4-5练习:第四讲4.2用数学归纳法证明不等式 Word版含解析

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  • 资源类别:高三试卷
  • 所属教版:高三上册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:72k
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  • 整理时间:2021-03-26
  • 第四讲 数学归纳法证明不等式
    4.2 用数学归纳法证明不等式
    A级 基础巩固
    一、选择题
    1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N),第一步应验证(  )
    A.n=1       B.n=2
    C.n=3 D.n=4
    解析:由题意n≥3知应验证n=3.
    答案:C
    2.用数学归纳法证明“1+++…+<n,(n∈N+,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是(  )
    A.2k-1 B.2k-1
    C.2k D.2k+1
    解析:增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k=2k.故选C.
    答案:C
    3.用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N+)成立,其初始值至少应取(  )
    A.7    B.8 C.9    D.10
    解析:左边=1+++…+==2-,代入验证可知n的最小值是8.
    答案:B
    4.用数学归纳法证明“+++…+≥(n∈N*)”时,由n=k到n=k+1时,不等式左边应添加的项是(  )
    A.
    B.+
    C.+-
    D.+--
    解析:当n=k时,不等式为
    ++…+≥.
    当n=k+1时,
    左边=++…+++=++…+++.
    比较n=k与n=k+1的左边,
    可知应添加的项为+-.
    答案:C
    5.若不等式++…+>对大于1的一切自然数n都成立,则自然数m的最大值为(  )
    A.12 B.13
    C.14 D.不存在
    解析:令f(n)=++…+,取n=2,3,4,5等值发现f(n)是单调递减的,所以f(n)]max>,
    所以由f(2)>,求得m的值.故应选B.
    答案:B
    二、填空题
    6.设x>-1,且x≠0,n为大于1的自然数,则(1+x)n>_______.
    解析:由贝努利不等式知(1+x)n>1+nx.
    答案:1+nx
    7.设通过一点的k个平面,其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将空间分成f(k)个部分,则k+1个平面将空间分成f(k+1)=f(k)+________个部分.
    答案:2k
    8.在应用数学归纳法证明“1+++…+<(n∈N*)”时,从n=k到n=k+1,不等式左边增加的项是________.
    解析:解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化,一看“头”,从12开始;二看“尾”,当n=k时,尾项的分母为(k+1)2,n=k+1时尾项的分母为(k+2)2;三看中间,如果忽略平方,1,2,3,…,(n+1)这些数都是连续相差1时.因此,从n=k到n=k+1只增加了一项,即(k∈N+).
    答案:
    三、解答题
    9.求证:1+++…+≥.
    证明:(1)当n=1时,左边=1,右边==1,左式=右式.
    当n=2时,左边=1+=,右边==,>,
    左边>右边.
    故当n=1或n=2时,不等式成立.
    (2)假设当n=k(k≥1)时,有1+++…+≥.
    则当n=k+1时,左边=1+++…++…+≥+=.
    因为-=>0,
    所以>=右边.
    由不等式的传递性可得:左边>右边.
    故当n=k+1时不等式也成立.
    由(1)(2)知,对一切n∈N*原不等式都成立.
    10.设0<a<1,定义a1=1+a,an+1=+a.
    求证:对于任意的n∈N*,都有1<an<.
    证明:(1)当n=1时,a1>1,又a1=1+a<,显然命题成立.
    (2)假设n=k(k∈N+)时,不等式成立.
    即1<ak<.
    当n=k+1(k∈N+)时,由递推公式可知ak+1=+a>(1-a)+a=1.
    同时ak+1=+a<1+a=<.
    所以当n=k+1(k∈N+)时,命题也成立,
    即1<ak+1<.
    由(1)(2)可知对于任意的n∈N+,都有1<an<.
    B级 能力提升
    1.用数学归纳法证明不等式1+++…+<f(n)(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k到n=k+1时,左边增加了(  )
    A.1项 B.k项
    C.2k-1项 D.2k项
    解析:1+++…+-=++…+,共增加了2k项.
    答案:D
    2.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)·a-na+an+1·an=0(n=1,2,3,…),则它的通项an=________.
    解析:可用两种方法求解.
    法一:分别令n=1,2,3求出a2=,a3=,通过不完全归纳法知,an=.
    法二:对已知等式因式分解得(n+1)an+1-nan]·(an+1+an)=0.由an>0知=,再由累乘法求得an=.
    答案:
    3.设a1=1,an+1=+b(n∈N*).
    (1)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式;
    (2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有n∈N+成立?证明你的结论.
    解:法一:a2=2,a3=+1.
    再由题设条件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.
    从而{ (an-1)2}是首项为0公差为1的等差数列,
    故(an-1)2=n-1,即an=+1(n∈N*).
    法二:a2=2,a3=+1.
    可写为a1=+1,a2=+1,a3=+1.
    因此猜想an=+1.
    下用数学归纳法证明上式:
    当n=1时结论显然成立.
    假设n=k时结论成立,即ak=+1,
    则ak+1=+1=+1=+1.
    这就是说,当n=k+1时结论成立.
    所以an=+1(n∈N*).
    (2)设f(x)=-1,则an+1=f(an).
    令c=f(c),则c=-1,解得c=.
    下用数学归纳法证明加强命题a2n<c<a2n+1<1.
    当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=-1,
    所以a2<<a2<1,结论成立.
    假设n=k时结论成立,即a2k<c<a2k+1<1.
    易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,
    从而c=f(c)>f(a2k+1)>f(1)=a2,
    即1>c>a2k+1>a2.
    再由f(x)在(-∞,1]上为减函数得c=f(c)<f(a2k+2)<f(a2)=a3<1.
    故c<a2k+3<1,因此a2(k+1)+1<1.
    这就是说,当n=k+1时结论成立.
    综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=.
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