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首页 高三 高中数学选修4-5练习:第一讲1.1-1.1.3三个正数的算术―几何平均不等式 Word版含解析

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  • 资源类别:高三试卷
  • 所属教版:高三上册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:83k
  • 浏览次数:541
  • 整理时间:2021-03-29
  • 第一讲 不等式和绝对值不等式
    1.1 不等式
    1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
    A级 基础巩固
    一、选择题
    1.若实数x,y满足xy>0,且x2y=2,则xy+x2的最小值是(  )
    A.1     B.2     C.3     D.4
    解析:xy+x2=xy+xy+x2≥3 =3 =3=3,当且仅当xy=x2,即x=1时,等号成立.
    答案:C
    2.若a>b>0,则a+的最小值为(  )
    A.0 B.1 C.2 D.3
    解析:因为a+=(a-b)+b+≥
    3=3,当且仅当a=2,b=1时取等号,
    所以a+的最小值为3.
    答案:D
    3.设x,y,z∈R+,且x+y+z=6,则lg x+lg x+lg z的取值范围是(  )
    A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2]
    C.lg 6,+∞) D.3lg 2,+∞)
    解析:因为lg x+lg y+lg z=lg(xyz),
    而xyz≤=23,
    所以lg x+lg y+lg z≤lg 23=3lg 2,当且仅当x=y=z=2时,取等号.
    答案:B
    4.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为(  )
    A.3 B.2 C.12 D. 12
    解析:2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=12.
    当且仅当x=2y=3z=2时等号成立.
    答案:C
    5.若logxy=-2,则x+y的最小值是(  )
    A. B. C. D.
    解析:当logxy=-2,得x-2=y,即x2y=1,且x>0,y>0,
    x+y=x+x+y≥3 =.
    当且仅当x=y时等号成立.
    答案:A
    二、填空题
    6.已知正数a,b满足ab2=1,则a+b的最小值是________.
    解析:因为a,b是正数,ab2=1,
    所以a+b=a++≥3 =.
    故a+b的最小值是,
    当且仅当即时取到最小值.
    答案:
    7.函数f(x)=x(5-2x)2的最大值是________.
    解析:f(x)=×4x(5-2x)(5-2x)≤
    =,
    当且仅当4x=5-2x,即x=时,等号成立.
    故函数f(x)=x(5-2x)2的最大值为.
    答案:
    8.设x,y,z>0且x+3y+4z=6,则x2y3z的最大值是_________.
    解析:因为6=x+3y+4z=++y+y+y+4z≥6,
    所以x2y3z≤1,当且仅当=y=4z,
    即x=2,y=1,z=时,等号成立.
    所以x2y3z取得最大值1.
    答案:1
    三、解答题
    9.θ为锐角,求y=sin θ·cos2θ的最大值.
    解:y2=sin2θcos2θcos2θ=·2sin2θ(1-sin2θ)(1-sin2θ)≤=.
    当且仅当2sin2θ=1-sin2θ,即sin θ=时取等号.
    所以ymax=.
    10.已知a,b,c为正数,求证:
    (a+b+c)(a2+b2+c2)≥9abc.
    证明:因为a,b,c为正数,
    所以a+b+c≥3,a2+b2+c2≥3
    所以(a+b+c)(a2+b2+c2)≥3·3=9.
    所以(a+b+c)(a2+b2+c2)≥9abc,
    当且仅当a=b=c时等号成立.
    B级 能力提升
    1.若数列{an}的通项公式是an=,则该数列中的最大项是(  )
    A.第4项 B.第6项
    C.第7项 D.第8项
    解析:an===
    因为n2++≥3 =48,
    当且仅当n2=,即n=4时,等号成立,
    所以an≤,该数列的最大项是第4项.
    答案:A
    2.函数y=4sin2x·cos x的最大值为__________,最小值为________.
    解析:因为y2=16sin2x·sin2x·cos2x=8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8=8×=,
    所以y2≤,当且仅当sin2x=2cos2x,即tan x=±时取等号.
    所以ymax=,ymin=-.
    答案: -
    3.请你设计一个帐篷,它下部的形状是高为1 m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥,如图所示.试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最大?
    解:设OO1为x m,则1<x<4.由题设可得正六棱锥底面边长为=,于是底面正六边形的面积为6××()2=(8+2x-x2),
    帐篷的体积为V(x)=(8+2x-x2)·=(4-x)(x+2)(x+2)=(8-2x)(x+2)(x+2)≤=16.
    当且仅当8-2x=x+2,即x=2时取等号.
    即当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为2 m时帐篷的体积最大.
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