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第一章 章末检测（A）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝b，A＝2B，则cosB等于(　　)
A.B.C.D.
答案　B
解析　由正弦定理得＝，
∴a＝b可化为＝.
又A＝2B，∴＝，∴cosB＝.
2.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则·等于(　　)
A．－B．－C.D.
答案　A
解析　由余弦定理得
cosA＝＝＝.
∴·＝||·||·cosA＝3×2×＝.
∴·＝－·＝－.
3．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)
A．2B.
C．2或D．以上都不对
答案　C
解析　∵a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴5＝15＋c2－2×c×.
化简得：c2－3c＋10＝0，即(c－2)(c－)＝0，
∴c＝2或c＝.
4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　)
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
答案　D
解析　A中，因＝，
所以sinB＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；
B中，sinC＝＝，
且c>b，∴C>B，故有两解；C中，
∵A＝90°，a＝5，c＝2，
∴b＝＝＝，
即有解，故A、B、C都不正确．
5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为(　　)
A.B.
C.D．9
答案　C
解析　设另一条边为x，
则x2＝22＋32－2×2×3×，
∴x2＝9，∴x＝3.设cosθ＝，则sinθ＝.
∴2R＝＝＝，R＝.
6．在△ABC中，cos2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
答案　A
解析　由cos2＝⇒cosA＝，
又cosA＝，
∴b2＋c2－a2＝2b2⇒a2＋b2＝c2，故选A.
7．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b等于(　　)
A．2B.－
C．4－2D．4＋2
答案　A
解析　sinA＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝，
由a＝c知，C＝75°，B＝30°.sinB＝.
由正弦定理：＝＝＝4.
∴b＝4sinB＝2.
8．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cosA＝，则△ABC的面积S为(　　)
A.B.C.D．6
答案　A
解析　由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0.
∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，
即6＝4c2＋c2－4c2·.
∴c＝2，从而b＝4.∴S△ABC＝bcsinA＝×2×4×＝.
9．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于(　　)
A.B.
C.D.
答案　B
解析　设BC＝a，则BM＝MC＝.
在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AM·cos∠AMB，
即72＝a2＋42－2××4·cos∠AMB①
在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC
即62＝42＋a2＋2×4×·cos∠AMB②
①＋②得：72＋62＝42＋42＋a2，∴a＝.
10．若＝＝，则△ABC是(　　)
A．等边三角形
B．有一内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一内角是30°的等腰三角形
答案　C
解析　∵＝，∴acosB＝bsinA，
∴2Rsin Acos B＝2Rsin Bsin A,2Rsin A≠0.
∴cos B＝sin B，∴B＝45°.同理C＝45°，故A＝90°.
11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为(　　)
A.B.
C.或 D.或
答案　D
解析　∵(a2＋c2－b2)tan B＝ac，
∴·tan B＝，
即cos B·tan B＝sin B＝.
∵012．△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为(　　)
A．4sin＋3 B．4sin＋3
C．6sin＋3 D．6sin＋3
答案　D
解析　A＝，BC＝3，设周长为x，由正弦定理知＝＝＝2R，
由合分比定理知＝，
即＝.
∴2＝x，
即x＝3＋2
＝3＋2
＝3＋2
＝3＋2
＝3＋6
＝3＋6sin.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13．在△ABC中，－－＝________.
答案　0
14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B
的值为________．
答案　
解析　∵a2＋c2－b2＝ac，
∴cosB＝＝＝，∴B＝.
15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝，
A＋C＝2B，则sinC＝________.
答案　1
解析　在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋C＝2B.
∴B＝.
由正弦定理知，sinA＝＝.
又a∴A＝，C＝.
∴sinC＝1.
16．钝角三角形的三边为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________．
答案　≤a<3
解析　由.
解得≤a<3.
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17．(10分)如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．
解　设我艇追上走私船所需时间为t小时，则
BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，
由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，
根据余弦定理知：
(14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcos120°，
∴t＝2.
答　我艇追上走私船所需的时间为2小时．
18．(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cosA＝.
(1)求sin2＋cos2A的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a.
解　(1)sin2＋cos2A＝＋cos2A＝＋2cos2A－1＝.
(2)∵cosA＝，∴sinA＝.
由S△ABC＝bcsinA，得3＝×2c×，解得c＝5.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得
a2＝4＋25－2×2×5×＝13，∴a＝.
19．(12分)如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.
(1)求cos∠CBE的值；
(2)求AE.
解　(1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，
∴∠CBE＝15°.
∴cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝.
(2)在△ABE中，AB＝2，
由正弦定理得＝，
即＝，
故AE＝＝＝－.
20．(12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
a＝2，cosB＝.
(1)若b＝4，求sinA的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
解　(1)∵cosB＝>0，且0∴sinB＝＝.
由正弦定理得＝，
sinA＝＝＝.
(2)∵S△ABC＝acsinB＝4，∴×2×c×＝4，
∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝.
21．(12分)(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
解　(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
故cosA＝－，A＝120°.
(2)方法一　由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，
又A＝120°，∴sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝，
∵sinB＋sinC＝1，∴sinC＝1－sinB.
∴sin2B＋(1－sinB)2＋sinB(1－sinB)＝，
即sin2B－sin B＋＝0.
解得sin B＝.故sin C＝.
∴B＝C＝30°.
所以，△ABC是等腰的钝角三角形．
方法二　由(1)A＝120°，∴B＋C＝60°，
则C＝60°－B，
∴sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)
＝sinB＋cosB－sinB
＝sin B＋cos B
＝sin(B＋60°)
＝1，
∴B＝30°，C＝30°.
∴△ABC是等腰的钝角三角形．
22．(14分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，
n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
(1)证明　∵m∥n，∴asinA＝bsinB，
即a·＝b·，
其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
(2)解　由题意知m·p＝0，
即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0.
∴ab＝4(舍去ab＝－1)，
∴S△ABC＝absinC＝×4×sin＝.