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阶段质量检测(一) A卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知＝，DE∥BC，则等于(　　)
A.　　　　　　　　 B. C. D.
解析：选C　∵DE∥BC，＝，
∴＝.∴＝.
又∵＝，∴＝.
2.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，CD＝2，则AC∶BC的值是(　　)
A．3∶2 B．9∶4
C.∶ D.∶
解析：选A　Rt△ACD∽Rt△CBD，
∴＝＝.
3．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D为AC上一点，DC＝AC，在AB上取一点E，得到△ADE.若图中的两个三角形相似，则DE的长是(　　)
A．6 B．8 C．6或8 D．14
解析：选C　依题意，本题有两种情形：
(1)如图1，过D作DE∥CB交AB于E.
则＝.
又∵DC＝AC，
∴＝.
∴DE＝BC＝6.
(2)如图2，作∠ADE＝∠B，交AB于E，
则△ADE ∽△ABC.
∴＝.
又∵AD＝AC＝4，
∴DE＝＝＝8.
∴DE的长为6或8.
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，DE是△ACD的高，且AC＝5，CD＝2，则DE的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　AC2＝CD·BC，
即52＝2×BC，
∴BC＝.
∴AB＝＝ ＝.
∵＝，∴DE＝.
5．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若BD＝3 cm，AC＝2 cm，则CD和BC的长分别为(　　)
A. cm和3 cm B．1 cm和 cm
C．1 cm和3 cm D. cm和2 cm
解析：选D　设AD＝x，
则由射影定理得x(x＋3)＝4，
即x＝1(负值舍去)，
则CD＝＝(cm)，
BC＝＝＝2(cm)．
6.如图，DE∥BC，S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，则AD∶DB的值为(　　)
A．1∶4 B．1∶3
C．1∶2 D．1∶5
解析：选C　由S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，
得S△ADE∶S△ABC＝1∶9.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴2＝＝.
∴＝，＝.
7．△ABC和△DEF满足下列条件，其中不一定使△ABC与△DEF相似的是(　　)
A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108°
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16
C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝，EF＝，DF＝
D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40°
解析：选C　A项中∠A＝∠D，∠B＝∠E＝108°，
∴△ABC∽△DEF；
B项中AB∶AC∶BC＝EF∶DE∶DF＝2∶3∶4；
∴△ABC∽△EFD；
D项中＝，∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEF；
而C项中不能保证三边对应成比例．
8．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D.若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是(　　)
A. B. C. D．2
解析：选C　由射影定理得CD2＝AD·BD，
又BD∶AD＝1∶4.
令BD＝x，则AD＝4x(x>0)，
∴CD2＝4x2，
∴CD＝2x，tan∠BCD＝＝＝.
9.如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，DE∶CE＝2∶3，连接AE，BE，BD且AE，BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于(　　)
A．4∶10∶25 B．4∶9∶25
C．2∶3∶5 D．2∶5∶25
解析：选A　∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF.
∴＝＝.
∴＝2＝.
又△DEF和△BEF等高．
∴＝＝＝.
∴S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝4∶10∶25.
10．如图，已知a∥b，＝，＝3，则AE∶EC等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　∵a∥b，∴＝，＝.
∵＝3，∴BC＝3CD，∴BD＝4CD.
又＝，
∴＝＝.∴＝.∴＝.
∴＝＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)
11．如图，设l1∥l2∥l3，AB∶BC＝3∶2，DF＝20，则DE＝________.
解析：EF∶DE＝AB∶BC＝3∶2，
∴＝，又DF＝20，∴DE＝8.
答案：8
12．如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.
解析：∵PE∥BC，∠C＝∠A，
∴∠PED＝∠C＝∠A.
∴△PDE∽△PEA.
∴＝，
即PE2＝PD·PA.
又PD＝2，DA＝1，
∴PA＝3.
∴PE2＝2×3＝6，故PE＝.
答案：
13.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.
解析：在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝，
所以∠BAC＝60°.
因为BE⊥AC，AB＝，所以AE＝.
在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，
由余弦定理知，
ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD
＝＋9－2××3×＝，
故ED＝.
答案：
14．如图，▱ABCD中，N是AB延长线上一点，－的值为________．
解析：∵AD∥BM，∴＝.
又∵DC∥AN，
∴＝.
∴＝，
即＝.
∴－＝－＝＝1.
答案：1
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，△ABC中，BC的中点为D，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB，AC于点M，N.
求证：MN∥BC.
证明：∵MD平分∠ADB，
∴＝.
∵ND平分∠ADC，∴＝.
∵BD＝DC，∴＝＝＝.
∴MN∥BC.
16．(本小题满分12分)如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F.
求证：BP2＝PE·PF.
证明：连接PC，
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD是△ABC的对称轴，
故PC＝PB.
∠PCE＝∠ABP.
∵CF∥AB，
∴∠PFC＝∠ABP，
故∠PCE＝∠PFC.
∵∠CPE＝∠FPC，
∴△EPC∽△CPF，
故＝，
即PC2＝PE·PF，
∴BP2＝PE·PF.
17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是平行四边形，P是BD上任意一点，过P点的直线分别交AB，DC于E，F，交DA，BC的延长线于G，H.
(1)求证：PE·PG＝PF·PH；
(2)当过P点的直线绕点P旋转到F，H，C重合时，请判断PE，PC，PG的关系，并给出证明．
解：(1)证明：∵AB∥CD，∴＝.
∵AD∥BC，∴＝.
∴＝.∴PE·PG＝PF·PH.
(2)关系式为PC2＝PE·PG.
证明：由题意可得到右图，
∵AB∥CD，
∴＝.
∵AD∥BC，
∴＝.
∴＝，即PC2＝PE·PG.
18．(本小题满分14分)如图(1)，已知矩形ABCD中，AB＝1，点M在对角线AC上，AM＝AC，直线l过点M且与AC垂直，与边AD相交于点E.
(1)如果AD＝，求证点B在直线l上；
(2)如图(2)，如果直线l与边BC相交于点H，直线l把矩形分成的两部分的面积之比为2∶7，求AD的长；
(3)如果直线l分别与边AD，AB相交于E，G，当直线l把矩形分成的两部分的面积之比为1∶6时，求AE的长．
解：(1)证明：连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝AC.
∵AM＝AC，∴AM＝OM.
在Rt△ABD中，AB＝1，AD＝，
∴BD＝＝2.
∴BO＝OA＝AB＝1.
∴△AOB是等边三角形．又AM＝OM，
∴BM⊥AO.∴点B在直线l上．
(2)设AD＝a，则AC＝.
∵∠EAM＝∠CAD，∠AME＝∠D＝90°，
∴△AEM∽△ACD.∴＝.
又AM＝AC＝ ，
∴AE＝＝.
由AE∥HC，得△AEM∽△CHM，
∴＝＝.∴HC＝3AE.
又BH＝BC－HC＝a－＝，
而S梯形ABHE＝(AE＋BH)·AB
＝·1＝.
∵S梯形ABHE∶S梯形EHCD＝2∶7，
∴S梯形ABHE＝S矩形ABCD＝a.
∴＝a.
解得a＝3，即AD＝3.
(3)如图，由题意知直线l分别交AD，AC，AB于E，M，G三点，
则有△AEG∽△DCA，
∴＝.
∵DC＝1，
∴AE＝.
∵S△AEG＝AE·AG，＝，
∴＝.
∴＝，
即＝.
∴AE2＝，AE＝.