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第一章章末复习课
课时目标
1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
一、选择题
1．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于(　　)
A．45°或135°B．135°
C．45°D．以上答案都不对
答案　C
解析　sinB＝b·＝，且b2．在△ABC中，已知cosAcosB>sinAsinB，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
答案　C
解析　cos Acos B>sin Asin B⇔cos(A＋B)>0，
∴A＋B<90°，∴C>90°，C为钝角．
3．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，0)
C.D.
答案　D
解析　由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，
c＝2mk(m>0)，
∵　即，∴k>.
4．如图所示，D、C、B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(β<α)．则A点离地面的高AB等于(　　)
A.B.
C.D.
答案　A
解析　设AB＝h，则AD＝，
在△ACD中，∵∠CAD＝α－β，∴＝.
∴＝，∴h＝.
5．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积为220，那么BC的长度为(　　)
A．25B．51C．49D．49
答案　D
解析　S△ABC＝AC·AB·sin60°＝×16×AB×＝220，∴AB＝55.
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝552＋162－2×16×55×＝2401.
∴BC＝49.
6．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，
sinC＝2sinB，则A等于(　　)
A．30°B．60°
C．120°D．150°
答案　A
解析　由sinC＝2sinB，根据正弦定理，得
c＝2b，把它代入a2－b2＝bc得
a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.
由余弦定理，得cosA＝＝
＝＝.
又∵0°二、填空题
7．三角形两条边长分别为3cm,5cm，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________cm2.
答案　6
解析　由5x2－7x－6＝0，解得x1＝－，x2＝2.
∵x2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cosθ＝－，
得sinθ＝，∴S＝×3×5×＝6 (cm2)．
8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝____________.
答案　
解析　由S＝bcsinA＝×1×c×＝，∴c＝4.
∴a＝＝
＝.
∴＝＝.
9．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是
______________．
答案　2解析　因为三角形有两解，所以asinB即x<210．一艘船以20km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于________km.
答案　20
解析　如图所示，＝
∴BC＝×sin45°＝×
＝20 (km)．
三、解答题
11．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．
解　由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，
即a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝＝＝，
∴A＝.
又sinA＝2sinBcosC．∴a＝2b·＝，
∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．
12．在△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．
(1)求最大角的余弦值；
(2)求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积．
解　(1)设这三个数为n，n＋1，n＋2，最大角为θ，
则cosθ＝<0，
化简得：n2－2n－3<0⇒－1∵n∈N*且n＋(n＋1)>n＋2，∴n＝2.
∴cosθ＝＝－.
(2)设此平行四边形的一边长为a，则夹θ角的另一边长为4－a，平行四边形的面积为：
S＝a(4－a)·sinθ＝(4a－a2)＝[－(a－2)2＋4]≤.
当且仅当a＝2时，Smax＝.
能力提升
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－.
(1)求sinC的值；
(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．
解　(1)∵cos2C＝1－2sin2C＝－，0∴sinC＝.
(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理＝，
得c＝4.
由cos2C＝2cos2C－1＝－及0得cosC＝±.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，
得b2±b－12＝0(b>0)，
解得b＝或2，
∴或
14．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
解　设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理有
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，
即142＝x2＋102－20xcos60°，
∴x2－10x－96＝0，∴x＝16(x＝－6舍去)，
即BD＝16.
在△BCD中，由正弦定理＝，
∴BC＝＝8.
1．在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用，要注意恰当的选取定理，简化运算过程．
2．应用正、余弦定理解应用题时，要注意先画出平面几何图形或立体图形，再转化为解三角形问题求解，即先建立数学模型，再求解．