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章末综合测评(三)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·菏泽高二期末)对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：
①若a>b，c≠0，则ac>bc；
②若a>b，则ac2>bc2；
③若ac2>bc2，则a>b；
④若a>b>0，c>d，则ac>bd.
其中真命题的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
【解析】　若a>b，c<0时，acd>0时，ac>bd，④错，故选A.
【答案】　A
2．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域的是(　　)
A．(－3,4) B．(－3，－4)
C．(0，－3) D．(－3,2)
【解析】　当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x＋2y＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足3x＋2y＋5>0.
【答案】　A
3．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是(　　)
A．A≥B B．A>B
C．A【解析】　∵a，b都是正实数，且a≠b，
∴A＝＋>2＝2，即A>2，
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2
＝－(x－2)2＋2≤2，
即B≤2，∴A>B.
【答案】　B
4．已知0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是(　　) 【导学号：05920084】
A．a3＞b3 B.＜
C．ab＞1 D．lg(b－a)＜0
【解析】　由0＜a＜b＜1，可得a3＜b3，A错误；＞，B错误；ab＜1，C错误；0＜b－a＜1，lg(b－a)＜0，D正确．
【答案】　D
5．在R上定义运算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A．(0,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1,2)
【解析】　根据定义得，x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2【答案】　B
6．已知0A．loga(xy)<0
B．0C．1D．loga(xy)>2
【解析】　0即0又0loga(xy)>logaa2＝2，即loga(xy)>2.
【答案】　D
7．不等式2x2＋2x－4≤的解集为(　　)
A．(－∞，－3] B．(－3,1]
C．[－3,1] D．[1，＋∞)∪(－∞，－3]
【解析】　由已知得 2x2＋2x－4≤2－1，所以x2＋2x－4≤－1，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1.
【答案】　C
8．(2014·安徽高考)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
【解析】　如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.
【答案】　D
9．已知正实数a，b满足4a＋b＝30，当＋取最小值时，实数对(a，b)是(　　)
A．(5,10) B．(6,6)
C．(10,5) D．(7,2)
【解析】　＋＝··30
＝(4a＋b)
＝
≥＝.
当且仅当
即时取等号．
【答案】　A
10．在如图1所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是(　　)
图1
A．－3
B．3
C．－1
D．1
【解析】　若最优解有无数个，则y＝－x＋与其中一条边平行，而三边的斜率分别为，－1,0，与－对照可知a＝－3或1，
又因z＝x＋ay取得最小值，则a＝－3.
【答案】　A
11．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)
A．5 km处 B．4 km处
C．3 km处 D．2 km处
【解析】　设车站到仓库距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，由题意得y1＝，y2＝k2x，∵x＝10时，y1＝2，y2＝8，∴k1＝20，k2＝，∴费用之和为y＝y1＋y2＝＋x≥2＝8，当且仅当＝，即x＝5时取等号．
【答案】　A
12．设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是(　　)
A.　　　B．2 C．3　　　D．4
【解析】　画出可行域，由图知最优解为A(1,1)，故A到x＋y＝10的距离为d＝4.
【答案】　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．函数y＝2－x－(x>0)的值域为________．
【解析】　当x>0时，y＝2－≤2－2＝－2.当且仅当x＝，x＝2时取等号．
【答案】　(－∞，－2]
14．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k<3，则k的取值范围为________．
【解析】　由题意得＋1＋k<3，即(＋2)·(－1)<0，且k>0，因此k的取值范围是(0,1)．
【答案】　(0,1)
15．(2015·山东高考)若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最大值为________．
【解析】　根据约束条件画出可行域如图所示，平移直线y＝－x，当直线y＝－x＋过点A时，目标函数取得最大值．由可得A(1,2)，代入可得z＝1＋3×2＝7.
【答案】　7
16．(2015·浙江高考)已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．
【解析】　∵x2＋y2≤1，∴2x＋y－4<0,6－x－3y>0，∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.
令z＝10－3x－4y
如图，设OA与直线－3x－4y＝0垂直，∴直线OA的方程为y＝x.
联立
得A，
∴当z＝10－3x－4y过点A时，z取最大值，zmax＝10－3×－4×＝15.
【答案】　15
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2016·苏州高二检测)已知函数f(x)＝x2＋，解不等式f(x)－f(x－1)>2x－1.
【解】　由题意可得
x2＋－(x－1)2－>2x－1，
化简得<0，
即x(x－1)<0，
解得0所以原不等式的解集为{x|018．(本小题满分12分)设x∈R，比较与1－x的大小．
【解】　作差：－(1－x)＝，
①当x＝0时，∵＝0，∴＝1－x；
②当1＋x<0，即x<－1时，
∵<0，∴<1－x；
③当1＋x>0且x≠0，即－10时，
∵>0，∴>1－x.
19．(本小题满分12分)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，求证：＋＋≥36. 【导学号：05920085】
【证明】　∵(x＋y＋z)＝14＋＋＋＋＋＋≥14＋4＋6＋12＝36，
∴＋＋≥36.
当且仅当x2＝y2＝z2，即x＝，y＝，z＝时，等号成立．
20．(本小题满分12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？
【解】　设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得
即
画出可行域如图阴影部分所示
而利润P＝(3×400－240)x＋(5×100－80)y
＝960x＋420y(目标函数)，
可联立得交点B(1.5,0.5)．
故当x＝1.5，y＝0.5时，
P最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．
21．(本小题满分12分)(2015·周口高二检测)已知函数f(x)＝(x≠a，a为非零常数)．
(1)解不等式f(x)(2)设x>a时，f(x)有最小值为6，求a的值．
【解】　(1)f(x)整理得(ax＋3)(x－a)<0.
当a>0时，(x－a)<0，
∴解集为；
当a<0时，(x－a)>0，
解集为.
(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0)．
∴f(x)＝
＝t＋＋2a
≥2＋2a
＝2＋2a.
当且仅当t＝，
即t＝时，等号成立，
即f(x)有最小值2＋2a.
依题意有：2＋2a＝6，
解得a＝1.
22．(本小题满分12分)(2015·济南师大附中检测)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，
(1)求不等式g(x)<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
【解】　(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，
∴(2x＋4)(x－4)<0，
∴－2∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2(2)∵f(x)＝x2－2x－8.
当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x2－4x＋7≥m(x－1)．
∴对一切x>2，均有不等式≥m成立．
而＝(x－1)＋－2≥2－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，
∴实数m的取值范围是(－∞，2]．