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课时提升作业 二十五
生活中的优化问题举例
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·杭州高二检测)炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是　(　　)
A.8 B. C.-1 D.-8
【解析】选C.原油温度的瞬时变化率为f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.
2.(2016·西安高二检测)要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为　(　　)
A.cm B.cm
C.cm D.cm
【解析】选D.设圆锥的高为xcm,则底面半径为cm,其体积为
V=πx(202-x2)(0V′=π(400-3x2),令V′=0,
解得x1=,x2=-舍去.
当00;当所以当x=时,V取得最大值.
【补偿训练】内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为　(　　)
A.R B.2R C.R D.R
【解析】选C.设圆锥的高为h,底面半径为r,
则R2=(h-R)2+r2,所以r2=2Rh-h2,
所以V=πr2h=h(2Rh-h2)
=πRh2-h3,V′=πRh-πh2,
令V′=0,得h=R.
当00;当因此当h=R时,圆锥体积最大.
3.(2016·泰安高二检测)把长为12cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形的面积之和的最小值是　(　　)
A.cm2 B.4cm2
C.3cm2 D.2cm2
【解析】选D.设两段长分别为xcm,(12-x)cm,这两个正三角形的边长分别为cm,cm,面积之和为S(x)==(x2-+16).令
S′(x)==0,解得x=6.则x=6是S(x)的极小值点,也是最小值点,所以S(x)min=S(6)=2cm2.
4.(2016·临沂高二检测)某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与产量x的关系式为R(x)=则总利润最大时,每年生产的产品是　(　　)
A.100单位 B.150单位
C.200单位 D.300单位
【解析】选D.设总成本为C元,总利润为P元,
则C=20000+100x,
P=R-C=
所以P′=
令P′=0,得x=300.当00;
当x>300时,P′<0.
所以当x=300时,P取得最大值.
5.某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙
壁,其他三边要砌新墙,当砌新墙所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别
为　(　　)
A.32米,16米 B.30米,15米
C.40米,20米 D.36米,18米
【解析】选A.设需建的矩形堆料场与原墙平行的一边边长为x米,其他两边边长均为y米,则xy=512,所砌新墙的长l=x+2y=+2y(y>0),令l′=-+2=0,解得y=16(另一负根舍去),当016时, l′>0,所以当y=16时,函数取得极小值,也就是最小值,此时x==32.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·大连高二检测)某商品一件的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,则当每件商品的定价为　　　　元时,利润最大.
【解析】利润s(x)=(x-30)(200-x)=-x2+230x-6000,s′(x)=-2x+230.
由s′(x)=0,得x=115,这时利润最大.
答案:115
7.(2016·洛阳高二检测)某公司一年购买某种货物400吨,每次购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费为4x万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x为　　　　吨.
【解析】设该公司一年内总共购买n次货物,则n=,所以总运费与总存储费之和f(x)=4n+4x=+4x,
令f′(x)=4-=0,解得x=20(-20舍去),
当00,所以x=20是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,故当x=20时,运费与总存储费之和最小.
答案:20
8.某厂生产某种产品x件的总成本C(x)=1200+x3,产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时,产量应定为　　　　.
【解析】设产品单价为a元,产品单价的平方与产品件数x成反比,即a2x=250000,a=.总利润y=500-x3-1200(x>0),y′=-x2,由y′=0得x=25.当x∈(0,25)时,y′>0,当x∈(25,+∞)时,y′<0,所以当x=25时,y取最大值.
答案:25件
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2016·石家庄高二检测)一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少?
【解析】设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设知p=kv3,因为v=10,p=6,所以k==0.006.于是有p=0.006v3.
又设船的速度为每小时v千米时,行驶1千米所需的总费用为q元,那么每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,而行驶1千米所用时间为小时,所以行驶1千米的总费用为
q=(0.006v3+96)=0.006v2+.
q′=0.012v-=(v3-8000),
令q′=0,解得v=20.
当v<20时,q′<0;当v>20时,q′>0,
所以当v=20时,q取得最小值.
即当速度为20千米/小时时,航行1千米所需费用总和最少.
10.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车的投入成本增加的比例为x(0【解析】由题意得,本年度每辆车的投入成本为10(1+x),每辆车的出厂价为13(1+0.7x),年利润为:
f(x)=·y=(3-0.9x)×3240×=3240(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),
则f′(x)=3240(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),
由f′(x)=0,解得x=或x=3(舍去),
当x∈时,f′(x)>0,f(x)是增函数;
当x∈时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
所以当x=时,f(x)取极大值,f=20000,因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值,所以它是最大值.
所以当x=时,本年度的年利润最大,最大利润为20000万元.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·长沙高二检测)若球的半径为R,作内接于球的圆柱,则其侧面积的最大值为　(　　)
A.2πR2 B.πR2
C.4πR2 D.πR2
【解析】选A.设内接圆柱的高为h,底面半径为x,
则x=,
所以S侧=2πxh=2πh
=2π,
令t=R2h2-,则t′=2R2h-h3,
令t′=0,得h=R(舍去负值)或h=0(舍去),
当00,当R所以当h=R时,圆柱的侧面积最大.
所以侧面积的最大值为2π=2πR2.
2.(2016·威海高二检测)一窗户的上部是半圆,下部是矩形,如果窗户面积为S,为使窗户周长最小,用料最省,圆的半径应为　(　　)
A. B.
C. D.2
【解析】选C.如图,设半圆的半径为x,矩形的高为h,
则S=x2+2hx.
解关于h的方程得h=-x.
所以窗户周长L(x)=πx+2x+2h
=πx+2x+-x
=x+2x+.
令L′(x)=+2-=0,
解得x=,(负值舍去)
因为L(x)只有一个极小值,因此x=也为最小值点.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·沈阳高二检测)某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,4.8%)),则使银行获得最大收益的存款利率为　　　　.
【解析】依题意知,存款额是kx2,银行应支付的存款利息是kx3,银行应获得的贷款利息是0.048kx2,所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(0令y′=0,解得x=0.032或x=0(舍去).
当00;
当0.032因此,当x=0.032时,y取得极大值,也是最大值,即当存款利率为3.2%时,银行可获得最大收益.
答案:3.2%
4.(2016·东营高二检测)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是　　　　(单位:元).
【解析】设底面的相邻两边长分别为xm,ym,总造价为T元,则V=xy·1=4,所以y=,
T=4×20+(2x+2y)×1×10=80+20(x+y)
=80+20,
令f(x)=x+(x>0),则f′(x)=1-,
由f′(x)=0得x=2.
当0当x>2时,f′(x)>0,
所以f(x)在x=2处取得极小值4,也是最小值.
所以Tmin=80+20×4=160.
答案:160
【补偿训练】(2016·亳州高二检测)某超市中秋前30天,月饼销售总量f(t)与时间t(0【解析】记g(t)==t++10(0g′(t)=1-=,
令g′(t)>0,得t>2,令g′(t)<0,得0所以函数g(t)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,10)上单调递增,
又t∈Z,且g(3)=g(4)=17,
所以g(t)的最小值为17,即该超市前t天平均售出的月饼最少为17个.
答案:17个
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.某产品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量将会增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数.
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
【解析】(1)若商品降低x元,则一个星期多卖的商品为kx2件.
由已知条件,得k·22=24,解得k=6.
若记一个星期的商品销售利润为f(x),则有f(x)=
(30-x-9)(432+6x2)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈.
(2)对(1)中函数f(x)求导得f′(x)的变化情况如下表:
x
0
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,21)
21
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
9 072
↘
极小值
↗
极大值
↘
0
所以当x=12时,f(x)取得极大值.
因为f(0)=9072,f(12)=11664,f(21)=0,
所以定价为30-12=18(元),能使一个星期的商品销售利润最大.
6.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)与行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8(0(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
【解析】(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5(小时),
此时的耗油量为×2.5=17.5(升).
因此当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地需要耗油17.5升.
(2)当速度为x千米/小时的时候,汽车从甲地到乙地行驶了小时.设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)==x2+-⇒
h′(x)=-=.
令h′(x)=0,得x=80.考虑到0当x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120]时,h′(x)>0,h(x)是增函数.
所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25(升).
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以11.25是最小值.
答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
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