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模块质量评估（A卷）
 (第一至第四章)
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(2016·石家庄高一检测)如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是
　(　　)

A.6π　　　　        B.12π　　　    　C.18π　    　　　D.24π
2.(2016·广州高一检测)一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积为
　(　　)
A.27π                B.18π
C.19π                D.54π
3.(2014·浙江高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面　(　　)
A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α
B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
4.(2016·大连高一检测)若直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,则a的值为　(　　)
A.2                            B.-2
C.2,-2                        D.2,0,-2
5.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A-BCD,则在四面体A-BCD中,下列说法正确的是　(　　)

A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABD
6.与直线y=-2x+3平行,且与直线y=3x+4交于x轴上的同一点的直线方程是
　(　　)
A.y=-2x+4                        B.y=x+
C.y=-2x-                            D.y=x-
7.若直线+=1与圆x2+y2=1有公共点,则　(　　)
A.a2+b2≤1                    B.a2+b2≥1
C.+≤1                    D.+≥1
8.(2016·厦门高一检测)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是　(　　)
A.(x-3)2+=1    
B.(x-2)2+(y-1)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1    
D.+(y-1)2=1
9.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为　(　　)
A.            B.4π            C.2π                D.
10.(2016·武汉高一检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱BB1,B1C1的中点,若∠CMN=90°,则异面直线AD1和DM所成角为　(　　)
A.30°        B.45°        C.60°            D.90°
11.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上的点到直线4x-3y-2=0的最近距离等于1,则半径r的值为　(　　)
A.4            B.5            C.6                D.9
12.(2016·烟台高一检测)若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx-y-9=0的两个交点恰好关于y轴对称,则k等于　(　　)
A.0            B.1            C.2                D.3
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.(2016·长春高一检测)若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为l的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积之比是　　　　　　.
14.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=　　　　.

15.过点P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线方程是　　　　　　　　.
16.(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为　　　　　.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图所示(单位:cm),四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.






18.(12分)直线l经过两直线l1:2x-y+4=0与l2:x-y+5=0的交点,且与直线x-2y-6=0垂直.
(1)求直线l的方程.
(2)若点P(a,1)到直线l的距离为,求实数a的值.







19.(12分)(2016·长沙高一检测)已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l经过点D(-2,0),且斜率为k.
(1)求以线段CD为直径的圆E的方程.
(2)若直线l与圆C相离,求k的取值范围.



20.(12分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N分别为棱DD1,AB,BC的中点.
(1)求二面角B1-MN-B的正切值.
(2)求证:PB⊥平面MNB1.







21.(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.
求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)直线A1F∥平面ADE.






22.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴上,半径为2的圆C位于y轴右侧,且与直线x-y+2=0相切.
(1)求圆C的方程.
(2)在圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.

答案解析
1.B　因为正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是一个圆环,
所以该几何体是一个圆台,且圆台的上、下底半径分别为1和2,母线为4,
所以S侧=π(r+r')l=π·(1+2)×4=12π.
2.A　设正方体的棱长为a,球的半径为r,
则6a2=54,所以a=3.
又因为2r=a,所以r=a=,
所以S表=4πr2=4π×=27π.
3.C　对A若m⊥n,n∥α,则m⊂α或m∥α或m⊥α,故A选项错误;
对B若m∥β,β⊥α,则m⊂α或m∥α或m⊥α,故B选项错误;
对C若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α,故C选项正确;
对D若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊂α或m∥α或m⊥α,故D选项错误.
【补偿训练】已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是　(　　)
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
C.若m∥α,m∥β,则α∥β
D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
D　A中还可能m,n相交或异面,所以A不正确;B,C中还可能α,β相交,所以B,C不正确,很明显D正确.
4.【解题指南】利用l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0求a的值.
C　因为两直线垂直,所以(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,即a=±2.
5.D　因为AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以∠ABD=∠ADB=45°,所以∠BDC=90°,即BD⊥CD,又因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD,所以CD⊥平面ABD,又CD⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面ABD.
6.C　直线y=3x+4与x轴的交点坐标为,故所求直线方程为y-0=-2=-2x-.
【延伸探究】本题中的条件“与直线y=-2x+3平行”若换为“与直线y=-2x+3垂直”其他条件不变,其结论又如何呢?
【解析】直线y=3x+4与x轴的交点坐标为,故所求直线方程为y-0=,
即y=x+.
7.D　直线+=1与圆x2+y2=1有公共点,
因此圆心(0,0)到直线bx+ay-ab=0的距离应小于等于1.
所以≤1,所以+≥1.
8.B　由已知设所求圆的圆心坐标为:C(a,b)(a>0且b>0),由已知有:⇒所以所求圆的方程为:(x-2)2+(y-1)2=1.
9.D　正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点,
所以球的半径r==1,
球的体积V=r3=.故选D.
10.D　因为MN⊥DC,MN⊥MC,DC∩MC=C,所以MN⊥平面DCM.所以MN⊥DM.
因为MN∥AD1,所以AD1⊥DM,即所求角为90°.
11.A　由圆的方程可知圆心为(3,-5),圆心(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离为d===5,由题意得d-r=1,即r=d-1=5-1=4.
12.A　将两方程联立消去y后得(k2+1)x2+2kx-9=0,由题意知此方程两根之和为0,故k=0.
13.【解析】设圆锥的底面半径为r,则有l=2πr,故l=3r,所以==.
答案:4∶3
14.【解析】因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
平面ABCD∩平面PQNM=PQ,
平面A1B1C1D1∩平面PQNM=NM,
所以MN∥PQ,
又因为MN∥AC,所以PQ∥AC.
又因为AP=,所以===,
所以PQ=AC=.
答案:
15.【解析】若截距为0,过P点和原点的直线方程为y=x,即3x-2y=0;
若截距不为0,设所求直线方程为+=1,
由P(2,3)在直线上,可得a=5,
则所求直线方程为x+y-5=0,
因此满足条件的直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0.
答案:3x-2y=0或x+y-5=0
【补偿训练】已知直线l经过点(1,3),且与圆x2+y2=1相切,直线l的方程为　　　　.
【解析】当斜率存在时,设切线的斜率为k,则切线方程为y-3=k(x-1),由圆心到切线的距离等于半径得=1,解得k=,切线方程为4x-3y+5=0;当斜率不存在时,直线x=1也符合题意.
答案:x=1或4x-3y+5=0
【误区警示】本题易忽视斜率不存在的情况,只写出一条切线方程.
16.【解题指南】点(1,0)到直线mx-y-2m-1=0(m∈R)的最大距离即为所求圆的半径,利用点到直线的距离公式表示出此距离并求出最大值,代入圆的标准方程即可.
【解析】点(1,0)到直线mx-y-2m-1=0的距离d==,当m>0时,d===.因为m>0,所以m+≥2=2,当且仅当m=1时上式成立,所以d≤.当m≤0时,d≤仍然成立.所以最大圆的半径是,标准方程为(x-1)2+y2=2.
答案:(x-1)2+y2=2
17.【解析】由题意,知所成几何体的表面积等于
圆台下底面积、圆台的侧面积与半球面面积的和,
又S半球面=×4π×22=8π(cm2),
S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),
S圆台下底=π×52=25π(cm2),
所以所成几何体的表面积为
8π+35π+25π=68π(cm2).
又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),
V半球=××23=(cm3).
所以所成几何体的体积为
V圆台-V半球=52π-=(cm3).
18.【解析】(1)由得交点为(1,6),
又直线l垂直于直线x-2y-6=0,
所以直线l的斜率为k=-2.
故直线l的方程为y-6=-2(x-1),
即2x+y-8=0.
(2)由于P(a,1)到直线l的距离等于,
则=,解得a=1或a=6.
19.【解析】(1)将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,
则此圆的圆心为C(0,4),半径为2.
所以CD的中点E(-1,2),|CD|==2,
所以r=,
故所求圆E的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.
(2)直线l的方程为y-0=k(x+2),即kx-y+2k=0.
若直线l与圆C相离,则有圆心C到直线l的距离>2,
解得k<.
20.【解析】(1)连接BD交MN于F,连接B1F,连接AC.

因为平面DD1B1B⊥平面ABCD,
交线为BD,AC⊥BD,
所以AC⊥平面DD1B1B.
又因为AC∥MN,
所以MN⊥平面DD1B1B.
因为B1F,BF⊂平面DD1B1B,
所以B1F⊥MN,BF⊥MN.
因为B1F⊂平面B1MN,
BF⊂平面BMN,
则∠B1FB为二面角B1-MN-B的平面角.
在Rt△B1FB中,
设B1B=1,则FB=,
所以tan∠B1FB=2.
(2)过点P作PE⊥AA1,
则PE∥DA,连接BE.

又DA⊥平面ABB1A1,
所以PE⊥平面ABB1A1,即PE⊥B1M.
又BE⊥B1M,所以B1M⊥平面PEB.
所以PB⊥MB1.
由(1)中MN⊥平面DD1B1B,得PB⊥MN,
所以PB⊥平面MNB1.
21.【证明】(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC.
又因为AD⊂平面ABC,
所以CC1⊥AD.
因为AD⊥DE,CC1,DE⊂平面BCC1B1,
且CC1∩DE=E,
所以AD⊥平面BCC1B1.
又因为AD⊂平面ADE,
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)方法一:因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,
所以A1F⊥B1C1.
又因为CC1⊥平面A1B1C1,
且A1F⊂平面A1B1C1,
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1,B1C1⊂平面BCC1B1,
且CC1∩B1C1=C1,
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知,AD⊥平面BCC1B1,
所以A1F∥AD.
又因为AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,
所以直线A1F∥平面ADE.
方法二:由(1)知,AD⊥平面BCC1B1,
因为BC⊂平面BCC1B1,
所以AD⊥BC.
因为A1B1=A1C1,所以AB=AC.
所以D为BC的中点.
连接DF(图略),因为F是B1C1的中点,
所以DFBB1AA1.
所以四边形ADFA1是平行四边形.
所以A1F∥AD.
因为AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,
所以A1F∥平面ADE.
22.【解析】(1)设圆心是(x0,0)(x0>0),它到直线x-y+2=0的距离是d==2,
解得x0=2或x0=-6(舍去),
所以所求圆C的方程是(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)存在.理由如下:因为点M(m,n)在圆C上,
所以(m-2)2+n2=4,
n2=4-(m-2)2=4m-m2且0≤m≤4.
又因为原点到直线l:
mx+ny=1的距离h==<1,
解得<m≤4,而|AB|=2,
所以S△OAB=|AB|·h=
==,
因为≤<1,
所以当=,即m=时,S△OAB取得最大值,
此时点M的坐标是或,△OAB的面积的最大值是.
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