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课时提升作业 十八
变化率问题　导数的概念
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2016·杭州高二检测)设函数y=f(x)=x2-1,当自变量x由1变为1.1时,函数的平均变化率为　(　　)
A.2.1 B.1.1 C.2 D.0
【解析】选A.===2.1.
2.(2016·洛阳高二检测)一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段
内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度
是　(　　)
A.-3 B.3 C.6 D.-6
【解析】选D.==-3Δt-6,
当Δt→0时,-3Δt-6→-6,
所以瞬时速度为-6.
3.设函数f(x)在x0处可导,则=　(　　)
A.f′(x0) B.-f′(x0) C.f(x0) D.-f(x0)
【解析】选B.
==-f′(x0).
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.某质点的运动方程为s=-2t2+1,则该质点从t=1到t=2时的平均速度为　　　　.
【解析】===-6.
5.(2016·佛山高二检测)一物体的运动方程为s=7t2+8,则其在t=　　　　时的瞬时速度为1.
【解析】==7Δt+14t0,
当(7Δt+14t0)=1时,t=t0=.
答案:
三、解答题
6.(10分)(2016·石家庄高二检测)一辆汽车按规律s=3t2+1做直线运动(时间单位:s,位移单位:m),求这辆汽车在t=3s时的瞬时速度.
【解析】设这辆汽车在3s到(3+Δt)s这段时间内的位移的增量为Δs,则
Δs=3·(3+Δt)2+1-28=3(Δt)2+18Δt,
所以=3Δt+18,
所以(3Δt+18)=18.
故这辆汽车在t=3s时的瞬时速度为18m/s.
【补偿训练】1.甲、乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图所示,试比较两人的平均速度哪个大?
【解题指南】欲比较两人的平均速度,其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率,通过平均变化率的大小关系得出结论.
【解析】由图象可知s1(t0)=s2(t0),s1(0)>s2(0),
所以<,
所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大.
2.(1)计算函数f(x)=x2从x=1到x=1+Δx的平均变化率,其中Δx的值为:
①2;②1;③0.1;④0.01.
(2)思考:当Δx越来越小时,函数f(x)在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势?
【解析】(1)因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2-12=(Δx)2+2Δx,
所以==Δx+2.
①当Δx=2时,=Δx+2=4;
②当Δx=1时,=Δx+2=3;
③当Δx=0.1时,=Δx+2=2.1;
④当Δx=0.01时,=Δx+2=2.01.
(2)当Δx越来越小时,函数f(x)在区间上的平均变化率逐渐变小,并接近于2.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·太原高二检测)物体的运动方程是s=-4t2+16t,在某一时刻的速度为零,则相应时刻为　(　　)
A.t=1 B.t=2 C.t=3 D.t=4
【解析】选B.=-8t+16,令-8t+16=0,得t=2.
2.(2016·菏泽高二检测)若f′(x0)=1,则=　(　　)
A. B.- C.1 D.-1
【解题指南】根据导数的定义求解.
【解析】选B.
=-
=-f′(x0)=-×1=-.
【误区警示】本题易对导数的概念不理解而误选成D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·烟台高二检测)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图,在时间段,,上的平均速度分别为,,,则三者的大小关系为　　　　.
【解析】=kOA,=kAB,=kBC,由图象知kOA答案:<<
4.如图所示,水波的半径以1m/s的速度向外扩张,当半径为5m时,这水波面的圆面积的膨胀率是　　　m2/s.
【解题指南】求出在时刻t的水波面积,进而求出在时刻t0的瞬时膨胀率,代入半径求膨胀率.
【解析】因为水波的半径以v=1m/s的速度向外扩张,
水波面积S=πr2=π(vt)2=πt2,
所以水波面积在时刻t0时的瞬时膨胀率S′(t0)=2πt.
当半径为5m时,t=5s,所以S′(5)=2π·5=10π,
即半径为5m时,这水波面积的膨胀率是10π,
答案:10π
三、解答题
5.(10分)建造一栋面积为xm2的房屋需要成本y万元,y是x的函数,y=f(x)=++0.3,求f′(100),并解释它的实际意义.
【解题指南】根据导数的定义,求出函数值y在x=100时的瞬时变化率即可,最后由瞬时变化率解释f′(100)的意义.
【解析】根据导数的定义,得
f′(100)==
=
=
=
=0.105.
f′(100)=0.105表示当建筑面积为100m2时,成本增加的速度为1050元/m2,也就是说当建筑面积为100m2时,每增加1m2的建筑面积,成本就要增加1050元.
【补偿训练】如果一个质点从起点A开始运动,在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3.
(1)当t1=4且Δt=0.01时,求Δy和.
(2)当t1=4时,求的值.
【解析】(1)Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3
=(Δt)3+48Δt+12(Δt)2
=(0.01)3+48×(0.01)+12×(0.01)2
=0.481201.
所以==48.1201.
(2)当Δt→0时,=48.
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