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课时提升作业二十二
函数的单调性与导数
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·重庆高二检测)函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间为　(　　)
A.(-1,1)　　 B.(-∞,1)　　
C.(0,1)　 　 D.(1,+∞)
【解析】选C.函数f(x)=x2-lnx的定义域是(0,+∞),f′(x)=x-,令f′(x)<0,即x-<0,解得0【补偿训练】函数f(x)=xlnx的单调递增区间是　(　　)
A.(0,1)　　　　　　　 B.(1,+∞)
C. D.
【解析】选D.因为f(x)=xlnx(x>0),所以f′(x)=lnx+1,令f′(x)>0,得lnx+1>0,即x>,
所以函数f(x)的单调递增区间是.
2.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是　(　　)
A.y=sinx B.y=xe2
C.y=x3-x D.y=lnx-x
【解析】选B.对于A,y=sinx在(0,+∞)内有增有减,
对于B,y′=(xe2)′=e2>0,故y=xe2在(0,+∞)内是增函数;
对于C,y′=3x2-1=3,
当x∈时,y′<0;
故y=x3-x在上是减函数,
对于D,y′=-1=,当x∈(1,+∞)时,y′<0,
故y=lnx-x在(1,+∞)上是减函数.
3.(2016·临沂高二检测)已知函数y=f(x)的图象是如图四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是　(　　)
【解析】选B.由函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象知f(x)的图象是上升的,且先由“平缓”变“陡峭”,再由“陡峭”变“平缓”.观察图象可得B正确.
4.若f(x)=,eA.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b)
C.f(a)1
【解题指南】先判断f(x)的单调性,再比较f(a)与f(b)的大小.
【解析】选A.因为f′(x)==.
当x∈(e,+∞)时,1-lnx<0,
所以f′(x)<0,
所以f(x)在(e,+∞)内为单调递减函数.
故f(a)>f(b).
5.(2016·烟台高二检测)若a>0,且f(x)=x3-ax在 B.(-1,1]
C.(-1,1) D.上是单调函数,求a的取值范围.
【解析】f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex
=ex.
令f′(x)=0,即x2+2(1-a)x-2a=0.
解得x1=a-1-,x2=a-1+,
其中x1当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况见下表:
x
(-∞,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
↘
↗
因为a≥0,
所以x1<-1,x2≥0,f(x)在(x1,x2)上单调递减.
由此可得f(x)在上是单调函数的充要条件为x2≥1,
即a-1+≥1,解得a≥.
故所求a的取值范围为.
10.(2016·青岛高二检测)已知函数y=f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.
(1)求函数y=f(x)的解析式.
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
【解析】(1)由y=f(x)的图象经过点P(0,2),知d=2,
所以f(x)=x3+bx2+cx+2,f′(x)=3x2+2bx+c.
由在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,
知-6-f(-1)+7=0,
即f(-1)=1,f′(-1)=6.
所以即
解得b=c=-3.
故所求的解析式是y=f(x)=x3-3x2-3x+2.
(2)f′(x)=3x2-6x-3.
令f′(x)>0,得x<1-或x>1+;
令f′(x)<0,得1-故f(x)=x3-3x2-3x+2的单调递增区间为(-∞,1-)和(1+,+∞),单调递减区间为(1-,1+).
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x>0时,有f′(x)>0,
g′(x)>0,则当x<0时,有　(　　)
A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0
【解析】选B.由题知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,根据奇偶函数图象特点知,当x<0时,f(x)的单调性与x>0时相同,g(x)的单调性与x>0时恰好相反.因此,当x<0时,有f′(x)>0,g′(x)<0.
2.(2016·南昌高二检测)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集
是　(　　)
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)
【解析】选D.因为′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),
所以当x<0时,′>0,
所以f(x)·g(x)在(-∞,0)上是增函数,
又g(-3)=0,所以f(-3)g(-3)=0.
所以当x∈(-∞,-3)时,f(x)g(x)<0;
当x∈(-3,0)时,f(x)g(x)>0.
又因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,
所以f(x)g(x)在R上是奇函数,其图象关于原点对称.
所以当x∈(0,3)时,f(x)g(x)<0.综上,选D.
【补偿训练】(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围
是　(　　)
A.(-∞,-1)∪(0,1)　　 B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
【解析】选A.记函数g(x)=,
则g′(x)=,
因为当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,
故当x>0时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;
又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,
所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,
且g(-1)=g(1)=0.
当00,则f(x)>0;
当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,
综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪ (0,1).
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·泰安模拟)如果函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,那么实数k的取值范围是　　　　　.
【解析】显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),
y′=4x-=.
由y′>0,得函数f(x)的单调递增区间为;
由y′<0,得函数f(x)的单调递减区间为,
由于函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,
所以解得1≤k<.
答案:
4.(2016·盐城高二检测)若函数f(x)=(mx-1)ex在(0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是　　　　.
【解析】因为f′(x)=(mx+m-1)ex,
由题意得f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
令g(x)=mx+m-1,则,解得m≥1.
答案:,
令f′(x)=0,得x1=1,x2=a-1.
因为f(x)在(1,4)内为减函数,
所以当x∈(1,4)时,f′(x)≤0;
因为f(x)在(6,+∞)内为增函数,
所以当x∈(6,+∞)时,f′(x)≥0.
所以4≤a-1≤6,
解得5≤a≤7.
所以实数a的取值范围为.
方法二:f′(x)=x2-ax+a-1.
因为f(x)在(1,4)内为减函数,
所以当x∈(1,4)时,f′(x)≤0;
因为f(x)在(6,+∞)内为增函数,
所以当x∈(6,+∞)时,f′(x)≥0.
所以即
解得5≤a≤7.
所以实数a的取值范围为.
6.(2015·驻马店高二检测)已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.
(1)若a=1,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)若a=-1,求f(x)的单调区间.
【解析】(1)因为f(x)=(x2+x-1)ex,
所以f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x-1)ex=(x2+3x)ex,所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=4e.
又因为f(1)=e,所以所求切线方程为y-e=4e(x-1),即4ex-y-3e=0.
(2)f(x)=(-x2+x-1)ex,
因为f′(x)=-x(x+1)ex,令f′(x)<0,
得x<-1或x>0,f′(x)>0得-1所以f(x)的减区间为(-∞,-1),(0,+∞),增区间为(-1,0).
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