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课时提升作业(二十七)
指数型、对数型函数模型的应用举例
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.某林场计划第一年造林10000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林
　(　　)
A.14400亩 B.172800亩
C.17280亩 D.20736亩
【解析】选C.设第x年造林y亩,则y=10000(1+20%)x-1,所以x=4时,y=10000×1.23=17280(亩).
2.(2015·四平高一检测)某化工厂2014年的12月份的产量是1月份产量的n倍,则该化工厂这一年的月平均增长率是　(　　)
A. B. C.-1 D.-1
【解析】选D.设月平均增长率为x,第一个月的产量为a,则有a(1+x)11=na,所以1+x=,所以x=-1.
3.(2015·长沙高一检测)在一次教学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据:
x
-2.00
-1.00
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x,y的函数关系与下列各类函数中最接近的是(其中a,b为待定系数)
　(　　)
A.y=a+ B.y=a+bx
C.y=a+logbx D.y=a·bx
【解析】选D.因为f(0)=1,所以A.y=a+,C.y=a+logbx不符合题意.
先求y=a+bx,由得所以y=1+1.02x,当x=-2时,1+1.02×(-2)=-1.04,不满足题意,选项B错误.
下面求y=a·bx,由得
所以y=2.02x,满足题意,选项D正确.
4.某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是　(　　)
A.y=0.2x B.y=
C.y= D.y=0.2+log16x
【解题指南】利用所给函数,分别令x=1,2,3,计算相应的函数值,即可求得结论.
【解析】选C.对于A,x=1,2时,符合题意,x=3时,y=0.6,与0.76相差0.16;
对于B,x=1时,y=0.3;x=2时,y=0.8;x=3时,y=1.5,相差较大,不符合题意;
对于C,x=1,2时,符合题意,x=3时,y=0.8,与0.76相差0.04,与A比较,更符合题意;
对于D,x=1时,y=0.2;x=2时,y=0.45;x=3时,y<0.6,相差较大,不符合题意.
5.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如表:
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是　(　　)
A.y=2x-1 B.y=x2-1
C.y=2x-1 D.y=1.5x2-2.5x+2
【解析】选D.画散点图或代入数值,选择拟合效果最好的函数,可知应选D.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·镇江高一检测)某细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),则这种细菌由一个繁殖成4096个需要经过　　　　小时.
【解析】设共分裂了x次,则有2x=4096,即2x=212,所以x=12.所用的时间为15分钟×12=180分钟=3小时.
答案:3
7.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.则当N=40时,t=　　　　.(已知lg5≈0.699,lg3≈0.477)
【解析】当N=40时,则t=-144lg
=-144lg
=-144(lg5-2lg3)≈36.72.
答案:36.72
8.(2015·扬州高一检测)现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x2+1;乙:y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用　　　　作为拟合模型较好.(填“甲”或“乙”)
【解析】图象法,即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象如图所示,比较发现选甲更好.
答案:甲
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.某种新式杀菌剂,每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的60%,要使该物质上的细菌少于原来的0.1%,则至少要喷洒多少次?(lg2≈0.3010)
【解析】设喷洒x次,该物质上原有细菌为a,则a(1-60%)x<0.1%·a,即(1-60%)x<0.1%,xlg0.4=≈7.5,故至少要喷洒8次.
10.某工厂今年1月,2月,3月,4月生产某种产品分别为1万件,1.2万件,1.3万件,1.37万件,为了以后估计每个月的产量,以1,2两个月的产品数据为依据.用一个函数模型模拟产品的月产量y与月份数x的关系,模拟函数可选用f(x)=-0.05x2+qx+r或g(x)=a·0.5x+c,其中q,r,a,c为常数,请问用上述哪个函数作为模拟函数较好?说明理由.
【解析】用g(x)=a·0.5x+c作为模拟函数较好,理由如下:
f(x)=-0.05x2+qx+r由f(1)=1,f(2)=1.2得
q=0.35,r=0.7,f(3)=1.3,f(4)=1.3;而对于g(x)=a·0.5x+c,
由g(1)=1,g(2)=1.2,得a=-0.8,c=1.4,g(3)=1.3,g(4)=1.35,所以用g(x)=a·0.5x+c作为模拟函数较好.
【拓展延伸】函数建模的基本思想
(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·舟山高一检测)若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是　(　　)
A.y= B.y=
C.y= D.y=1-(0.0424
【解析】选A.设镭一年放射掉其质量的t%,则有95.76%=1·(1-t%)100,
t%=1-,所以y=(1-t%)x=(0.9576.
2.一种放射性元素,每年的衰减率是8%,那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于　(　　)
A.lg B.lg C. D.
【解析】选C.由题意得a(1-8%)t=,
所以0.92t=0.5.两边取对数得lg0.92t=lg0.5,
所以tlg0.92=lg0.5.故t=.
【误区警示】解答本题容易因忽视利用两边取对数的方法求出t的值而致误.另外对数的运算性质应用不当也易导致出错.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·鹰潭高一检测)在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v=2000·ln.当燃料质量是火箭质量的　　　　倍时,火箭的最大速度可达12000米/秒.
【解析】当v=12000时,2000·ln=12000,
所以ln=6,所以=e6-1.
答案:e6-1
【补偿训练】用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是　　　　.
【解题指南】先将污垢原量视为单位1,再把洗x次后污垢含量表示出来,列出不等式,最后解不等式求出.
【解析】选B.设要洗x次,则≤,所以x≥≈3.32,因此至少要洗4次.
答案:4
4.(2015·邵武高一检测)如图所示,某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系y=at,有以下几种说法:
①这个指数函数的底数为2;
②第5个月时,浮萍面积就会超过
30m2;
③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月;
④浮萍每月增加的面积都相等.
其中正确的命题序号是　　　　.
【解析】由图象知,t=2时,y=4,
所以a2=4,故a=2,①正确.
当t=5时,y=25=32>30,②正确,
当y=4时,由4=知t1=2,
当y=12时,由12=知t2=log212=2+log23.
t2-t1=log23≠1.5,故③错误;
浮萍每月增长的面积不相等,实际上增长速度越来越快,④错误.
答案:①②
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比.
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0解得x=1-.
(2)设经过m年,森林剩余面积为原来的,则
a(1-x)m=a,即=,=,解得m=5,故到今年为止,已砍伐了5年.
【延伸探究】本题条件不变的情况下,问今后最多还能砍伐多少年?
【解析】设从今年开始,以后砍n年,则n年后森林剩余面积为a(1-x)n.令a(1-x)n≥a,即(1-x)n≥,可得≥,≤,解得n≤15,故今后最多还能砍伐15年.
6.(2015·十堰高一检测)某地区大力加强对环境污染的治理力度,使地区环境污染指数逐年下降,自2010年开始,连续6年检测得到的数据如表:
年份
2010年
2011年
2012年
2013年
2014年
2015年
环境污
染指数
2.000
1.595
1.278
1.024
0.819
0.655
根据这些数据,建立适当的函数模型,预测2021年的环境污染指数.(精确到0.1)(参考数据:0.83=0.512,0.84=0.410,0.85=0.328,0.810=0.107)
【解析】设年份为变量x,且2010年为0,2011年为1,…,2015年为5,环境污染指数为y.作出年份x与环境污染指数y的散点图(略).
由散点图可设函数模型为y=a·bx.
取(0,2.000),(5,0.655)代入得
所以
所以函数模型为y=2×0.8x.
令x=11,得y=2×0.811≈0.2.
故预测2021年该地区的环境污染指数约为0.2.
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