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专题强化训练(二)
函数及其基本性质
(30分钟　50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.已知函数f(x)=+(x-2)0的定义域是　(　　)
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.(1,2)∪(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
【解析】选C.要使函数有意义,需要满足所以x>1且x≠2.
2.设集合A={-1,3,5},若f:x→2x-1是集合A到集合B的映射,则集合B可以是
　(　　)
A.{0,2,3} B.{1,2,3}
C.{-3,5} D.{-3,5,9}
【解析】选D.注意到题目中的对应法则,将A中的元素-1代入得-3,3代入得5,5代入得9.
3.若函数f(x)满足f(3x+2)=9x+8,则f(x)的解析式是(　　)
A.f(x)=9x+8
B.f(x)=3x+2
C.f(x)=-3x-4
D.f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4
【解析】选B.f(3x+2)=9x+8=3(3x+2)+2,所以f(t)=3t+2,即f(x)=3x+2.
4.设函数f(x)=若f(α)=4,则实数α=(　　)
A.-4或-2 B.-4或2
C.-2或4 D.-2或2
【解析】选B.当α≤0时,f(α)=-α=4,得α=-4;
当α>0时,f(α)=α2=4,得α=2.所以α=-4或2.
5.若函数f(x)=为奇函数,则a=　(　　)
A.1 B. C. D.
【解析】选D.因为f(-x)=-f(x),所以=-,所以(2a-1)x=0,所以a=.
6.(2015·石家庄高一检测)函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是(　　)
【解析】选A.由于函数y=f(x)·g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集(-∞,0)∪(0,+∞),所以函数图象在x=0处是断开的,故可以排除C,D;由于当x为很小的正数时,f(x)>0且g(x)<0,故f(x)·g(x)<0,可排除B.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.给出下列四个函数:①y=x+1;②y=2x+1;③y=x2-1;④y=.这四个函数中其定义域和值域完全相同的是　　　　.(填序号)
【解析】①中函数y=x+1的定义域和值域为R,
②中函数y=2x+1的定义域和值域为R,
③中函数y=x2-1的定义域为R,值域为[-1,+∞),
④中函数y=的定义域和值域为(-∞,0)∪(0,+∞).
答案:①②④
8.已知函数f(x)=(a≠1).
(1)若a>0,则f(x)的定义域是　　　　　.
(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是　　　　　.
【解析】(1)当a>0且a≠1时,由3-ax≥0得x≤,即此时函数f(x)的定义域是.
(2)当a-1>0,即a>1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需3-a×1≥0,此时1当a-1<0,即a<1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需-a>0,此时a<0.综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,3].
答案:(1)　(2)(-∞,0)∪(1,3]
9.(2015·南宁高一检测)f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意的x1∈[-1,2],存在x0∈[-1,2],使g(x1)=f(x0),则a的取值范围是　　　　.
【解析】设f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),在[-1,2]上的值域分别为A,B,
由题意可知:A=[-1,3],B=[-a+2,2a+2],
所以所以a≤,
又因为a>0,
所以0答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.设f(x)为定义在R上的奇函数,如图是函数图形的一部分,当0≤x≤2时,是线段OA;当x>2时,图象是顶点为P(3,4)的抛物线的一部分.
(1)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象.
(2)求函数f(x)在[2,+∞)上的解析式.
(3)写出函数f(x)的单调区间.
【解析】(1)图象如图所示.
(2)当x≥2时,设f(x)=a(x-3)2+4(a≠0).
因为f(x)的图象过点A(2,2),
所以f(2)=a(2-3)2+4=2,所以a=-2,
所以f(x)=-2(x-3)2+4.
(3)由f(x)的图象知,f(x)的单调递减区间为(-∞,-3]和[3,+∞),单调递增区间为[-3,3].
11.已知函数f(x)=,且f(1)=2,
(1)证明函数f(x)是奇函数.
(2)证明f(x)在(1,+∞)上是增函数.
(3)求函数f(x)在[2,5]上的最大值与最小值.
【解析】(1)f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,因为f(1)=2,所以1+a=2,即a=1
f(x)==x+,f(-x)=-x-=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(2)任取x1,x2∈(1,+∞)且x1f(x1)-f(x2)=x1+-
=(x1-x2)·.
因为x1所以x1-x2<0,x1x2>1,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在(1,+∞)上为增函数.
(3)由(2)知,f(x)在[2,5]上是增函数,所以f(x)在[2,5]上的最大值为f(5)=,最小值为f(2)=.
【补偿训练】已知函数f(x)=是奇函数,且f(1)=2.
(1)求a,b的值.
(2)判断函数f(x)在(-∞,0)上的单调性.
【解析】(1)因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x),即=-,
所以-ax+b=-ax-b,所以b=0,
又f(1)=2,所以=2,所以a+b=1,
所以a=1.
(2)f(x)==x+,任取x1则f(x1)-f(x2)=-
=(x1-x2)+=,
当x11,x1x2-1>0,
从而f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在(-∞,-1]上为增函数.
同理,当-1f(x2),
所以函数f(x)在(-1,0)上为减函数.
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