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高中同步创优单元测评
B 卷 数 学
班级：________　姓名：________　得分：________
创优单元测评
(模块检测卷)
名校好题·能力卷]
(时间：120分钟　满分：150分)
第Ⅰ卷　(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤8}，A∩(∁UB)＝{1,3,5,7}，则集合B＝(　　)
A．{0,2,4} B．{0,2,4,6}
C．{0,2,4,6,8} D．{0,1,2,3,4}
2．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是(　　)
A．幂函数 B．对数函数
C．指数函数 D．一次函数
3．下列各函数中，表示同一函数的是(　　)
A．y＝x与y＝logaax(a>0且a≠1)
B．y＝与y＝x＋1
C．y＝－1与y＝x－1
D．y＝lg x与y＝lg x2
4．定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图象是(　　)
5．已知a＝log5，b＝3，c＝0.3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a6．下列函数中既是偶函数，又在(0，＋∞)上是单调递增函数的是(　　)
A．y＝－x2＋1 B．y＝|x|＋1
C．y＝log2x＋1 D．y＝x3
7．函数f(x)＝2x＋log3x－1的零点所在的区间是(　　)
A. B. C. D.
8．已知函数f(x)＝－x5－3x3－5x＋3，若f(a)＋f(a－2)>6，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，3) C．(1，＋∞) D．(3，＋∞)
9．函数y＝log2(x2－3x＋2)的递减区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(2，＋∞) C. D.
10．设函数f(x)＝
g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
11．如图，平面图形中阴影部分面积S是h(h∈0，H])的函数，则该函数的图象大致是(　　)
12．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有(　　)
A．fC．f第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．函数y＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．
14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间0，＋∞)上是单调减函数，若f(2x＋1)＋f(1)<0，则x的取值范围是________．
15．设a为常数且a<0，y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋－2.若f(x)≥a＋1对一切x≥0都成立，则a的取值范围为________．
16．下列命题中：
①若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}中只有一个元素，则k＝1；
②已知函数y＝f(3x)的定义域为－1,1]，则函数y＝f(x)的定义域为(－∞，0]；
③函数y＝在(－∞，0)上是增函数；
④方程2|x|＝log2(x＋2)＋1的实根的个数是2.
所有正确命题的序号是____________(请将所有正确命题的序号都填上)．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
计算下列各式的值：
(1)(－0.1)0＋×2＋；
(2)log3＋lg 25＋lg 4.
18．(本小题满分12分)
已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3在(0，＋∞)上是增函数，又g(x)＝loga(a>1，a≠0)．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)当x∈(t，a)时，g(x)的值域为(1，＋∞)，试求a与t的值．
19．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝1＋－xα(α∈R)，且f(3)＝－.
(1)求α的值；
(2)求函数f(x)的零点；
(3)判断f(x)在(－∞，0)上的单调性，并给予证明．
20．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝为定义在R上的奇函数，且f(1)＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断并证明函数f(x)在(－1,0)上的单调性．
21．(本小题满分12分)
函数f(x)＝(ax＋a－x)(a>0，且a≠1)的图象经过点.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：f(x)在0，＋∞)上是增函数．
22．(本小题满分12分)
某网店经营的一种消费品的进价为每件12元，周销售量p(件)与销售价格x(元)的关系如图中折线所示，每周各项开支合计为20元．
(1)写出周销售量p(件)与销售价格x(元)的函数关系式；
(2)写出周利润y(元)与销售价格x(元)的函数关系式；
(3)当该消费品销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．
详解答案
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(模块检测卷)
名校好题·能力卷]
1．C　解析：因为集合U＝A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，又B∪∁UB＝U，所以A＝∁UB＝{1,3,5,7}，所以B＝{0,2,4,6,8}．
2．C　解析：f(x)f(y)＝axay＝ax＋y＝f(x＋y)．
3．A　解析：要表示同一函数必须定义域、对应法则一致，B，D中的定义域不同，C中的对应法则不同．故选A.
4．A　解析：根据题意得f(x)＝1⊕2x＝
5．C　解析：a＝log5<0，b＝3>1,06．B　解析：函数y＝－x2＋1为偶函数，在区间(0，＋∞)上为减函数，y＝log2x＋1为非奇非偶函数，函数y＝x3为奇函数．故选B.
7．C　解析：∵f＝log3<0，f＝log3>0，
∴f·f<0.
又函数f(x)在上是连续的，故f(x)的零点所在的区间为.
8．A　解析：设F(x)＝f(x)－3＝－x5－3x3－5x，则F(x)为奇函数，且在R上为单调减函数，f(a)＋f(a－2)>6等价于f(a－2)－3>－f(a)＋3＝－f(a)－3]，即F(a－2)>－F(a)＝F(－a)，所以a－2<－a，即a<1，故选A.
9．A　解析：由x2－3x＋2>0，得x<1或x>2，底数是2，所以在(－∞，1)上递减．故选A.
10．B　解析：当x≤1时，函数f(x)＝4x－4与g(x)＝log2x的图象有两个交点，可得h(x)有两个零点，当x>1时，函数f(x)＝x2－4x＋3与g(x)＝log2x的图象有1个交点，可得函数h(x)有1个零点，∴函数h(x)共有3个零点．
11．D　解析：由图中可知，S随着h的增加而减少，并且减小的趋势在减小，当h＝时，阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半．故选D.
12．C　解析：由f(2－x)＝f(x)知f(x)的图象关于直线x＝＝1对称，又当x≥1时，f(x)＝ln x，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，
∵|2－1|>>，∴f解题技巧：由f(2a－x)＝f(x)知f(x)的图象关于直线x＝a对称．
13．(1,2)　解析：当x－1＝0，即x＝1时，y＝2.
∴函数y＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)．
14．(－1，＋∞)　解析：f(2x＋1)＋f(1)<0，f(2x＋1)<－f(1)＝f(－1)．由于f(x)是奇函数，在区间0，＋∞)上是单调减函数．所以在定义域上是减函数，故2x＋1>－1，x∈(－1，＋∞)．
15．(－∞，－1]　解析：当x＝0时，f(x)＝0，则0≥a＋1，解得a≤－1，
当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x＋－2，则f(x)＝－f(－x)＝x＋＋2，由函数的图象或增减性可知，当x＝＝|a|＝－a时，有f(x)min＝－2a＋2，所以－2a＋2≥a＋1，解得a≤，又a<0，所以a<0.
综上所述：a≤－1.
16．③④　解析：对于①，k＝0也符合题意；对于②，y＝f(x)的定义域应该是3－1,3]；对于③，画出y＝的图象或利用定义可判定y＝在(－∞，0)上是增函数；对于④，在同一坐标系中作出y＝2|x|，y＝log2(x＋2)＋1的图象，由图可知有两个交点．故方程的实根的个数为2.
18．解：(1)∵f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数，
∴解得m＝－1，
∴g(x)＝loga.
(2)由>0可解得x<－1或x>1，
∴g(x)的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
又a>1，x∈(t，a)，可得t≥1，
设x1，x2∈(1，＋∞)，且x10，x1－1>0，x2－1>0，
∴－＝>0，
∴>.
由a>1，有loga>loga，即g(x)在(1，＋∞)上是减函数．
又g(x)的值域是(1，＋∞)，
∴得g(a)＝loga＝1，可化为＝a，
解得a＝1±，
∵a>1，∴a＝1＋，
综上，a＝1＋，t＝1.
19．解：(1)由f(3)＝－，得1＋－3α＝－，解得α＝1.
(2)由(1)，得f(x)＝1＋－x.
令f(x)＝0，即1＋－x＝0，也就是＝0，
解得x＝.
经检验，x＝是1＋－x＝0的根，
所以函数f(x)的零点为.
(3)函数f(x)＝1＋－x在(－∞，0)上是单调减函数．
证明如下：
设x1，x2∈(－∞，0)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝(x2－x1).
因为x10，x1x2>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)＝1＋－x在(－∞，0)上是单调减函数．
20．解：(1)由题意得解得a＝1，b＝0，所以f(x)＝.
(2)函数f(x)在(－1,0)上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈(－1,0)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝＝<0，即f(x1)所以函数f(x)在(－1,0)上单调递增．
21．(1)解：∵ f(x)的图象经过点，
∴ (a2＋a－2)＝，即9a4－82a2＋9＝0，解得a2＝9或a2＝.
∵ a>0，且a≠1，∴ a＝3或a＝.
当a＝3时，f(x)＝(3x＋3－x)；
当a＝时，f(x)＝＝(3x＋3－x)．
∴ 所求解析式为f(x)＝(3x＋3－x)．
22．解：(1)由A(12,26)，B(20,10)可知线段AB的方程为p＝－2x＋50,12≤x≤20，
由B(20,10)，C(28,2)可知线段BC的方程为p＝－x＋30,20∴p＝
(2)当12≤x≤20时，
y＝(x－12)(－2x＋50)－20＝－2x2＋74x－620；
当20y＝(x－12)(－x＋30)－20＝－x2＋42x－380.
∴y＝
(3)当12≤x≤20时，y＝－22＋.
故当x＝时，y取得最大值.
当20故当x＝21时，y取得最大值为61.
∵＝64.5>61，
∴当该消费品销售价格为18.5元时，周利润最大，最大周利润为64.5元．