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课时提升作业 十六
抛物线的简单几何性质
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·吉安高二检测)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为　(　　)
A. B.1 C. D.
【解析】选C.由抛物线的定义,有|AF|+|BF|=+=xA+xB+p=3,故xA+xB=3-p=,故线段AB的中点到y轴的距离为.
【延伸探究】若将上题改为F是抛物线x2=2y的焦点,A,B是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=6,则线段AB的中点到x轴的距离为　　　　　.
【解析】|AF|+|BF|=6,由抛物线的定义可得|AD|+|BE|=6,又线段AB的中点到抛物线准线y=-的距离为(|AD|+|BE|)=3,所以线段AB的中点到x轴的距离为.
答案:
2.(2016·温州高二检测)已知抛物线y2=6x的焦点为F,准线为1,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PA⊥l,垂足为A,|PF|=2,则直线AF的倾斜角为　(　　)
A. B. C. D.
【解题指南】可先画出图形,得出F,由抛物线的定义可以得出|PA|=2,从而可以得出P点的横坐标,代入抛物线方程便可求出P点的纵坐标,这样即可得出A点的坐标,从而求出直线AF的斜率,根据斜率便可得出直线AF的倾斜角.
【解析】选D.如图,由抛物线方程得F;|PF|=|PA|=2,所以P点的横坐标为2-=;所以y2=6·,P在第一象限,所以P点的纵坐标为;所以A点的坐标;所以AF的斜率为=-;所以AF的倾斜角为.
3.已知直线l经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于P,Q两点,由P,Q分别向准线引垂线PK,QS,垂足分别为K,S,如果|PF|=a,|QF|=b,M为KS的中点,则|MF|的值为　(　　)
A.a+b B.(a+b)
C.ab D.
【解析】选D.如图,根据抛物线的定义,有|PF|=|PK|,|QF|=|QS|,易知△KFS为直角三角形,故要求的是直角三角形斜边上的中线长.在直角梯形PKSQ中,容易求得|KS|=2.
故|FM|=|KS|=.
4.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直, l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为　(　　)
A.18 B.24 C.36 D.48
【解析】选C.如图所示,
设抛物线方程为y2=2px(p>0).
因为当x=时,|y|=p,
所以p===6.
又P到AB的距离始终为p,
所以S△ABP=×12×6=36.
5.(2015·浙江高考)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是　(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选A.=====.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设抛物线y2=mx的准线与直线x=1的距离为3,则抛物线的方程为　　　　.
【解析】当m>0时,准线方程为x=-=-2,所以m=8,
此时抛物线方程为y2=8x;
当m<0时,准线方程为x=-=4,
所以m=-16,
此时抛物线方程为y2=-16x.
所以所求抛物线方程为y2=8x或y2=-16x.
答案:y2=8x或y2=-16x.
【误区警示】解答本题时容易忽视m的符号,出现答案不完整的情况.
7.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为　　　.
【解析】据题意知,△PMF为等边三角形时,PF=PM,
所以PM垂直抛物线的准线,
设P,则M(-1,m),
则等边三角形边长为
1+,F(1,0),
所以由PM=FM,得1+=,解得m2=12,
所以等边三角形边长为4,其面积为4.
答案:4
8.(2016·长沙高二检测)已知定点A(-3,0),B(3,0),动点P在抛物线y2=2x上移动,则·的最小值等于　　　　.
【解题指南】设出P点的坐标结合抛物线y2=2x中的x的范围求解.
【解析】设P(x,y),则y2=2x,因为A(-3,0),B(3,0),
则·=·=(x+3,y)·(x-3,y)=x2+y2-9=x2+2x-9=(x+1)2-10(x≥0),
所以当x=0时,(·)min=-9.
答案:-9
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.直角三角形的直角顶点在坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,且一直角边的方程是y=2x,斜边长是5,求此抛物线的方程.
【解析】如图,设直角三角形为AOB,直角顶点为O,AO边的方程为y=2x,
则OB边的方程为y=-x.
由得A点坐标为.
由得B点坐标为(8p,-4p).
因为|AB|=5,
所以=5.
因为p>0,解得p=,
所以所求抛物线方程为y2=x.
10.(2016·淮安高二检测)如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(1)求y1y2的值.
(2)记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:为定值.
【解题指南】(1)设出直线AB的方程,把直线方程代入抛物线方程中整理化简,然后根据一元二次方程根与系数的关系可求.(2)表示出斜率,根据根与系数的关系代入化简可求得定值.
【解析】(1)依题意,设AB的方程为x=my+2,代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.
(2)设M(x3,y3),N(x4,y4),
=×=×=,
设直线AM的方程为x=ny+1,代入y2=4x消去x得:y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,
同理y2y4=-4,===,
由(1)y1y2=-8,所以=2为定值.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·成都高二检测)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为抛物线上不同的三点,点F是△ABC的重心,O为坐标原点,△OFA,△OFB,△OFC的面积分别为S1,S2,S3,则++=　(　　)
A.9 B.6 C.3 D.2
【解析】选C.设A,B,C三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),
因为抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),
所以S1=|y1|,S2=|y2|,S3=|y3|,
所以++=(++)=x1+x2+x3,
因为点F是△ABC的重心,
所以x1+x2+x3=3,所以++=3.
2.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是　 (　　)
A. B. C. D.3
【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.
【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l的方程为4x+3y+m=0,
由消去y得,3x2-4x-m=0,
由Δ=0得,16+12m=0,解得m=-.
所以l的方程为4x+3y-=0.
因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d==.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A(4,6),则|PA|+|PM|的最小值是　　　　　.
【解题指南】将P到y轴的距离,转化为点P到焦点的距离,当A,P,F共线时,|PA|+|PM|最小.
【解析】由y2=4x,得p=2,
所以F(1,0),
如图,|PM|=|PF|-
=|PF|-1,
所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1
=-1=3-1.
答案:3-1
4.(2016·南昌高二检测)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=　　　　.
【解析】因为抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),点A坐标为(2,0),所以抛物线的准线方程为l:y=-1,直线AF的斜率为k==-.过M作MP⊥l于P,根据抛物线的定义得|FM|=|PM|.
因为Rt△MPN中,tan∠MNP=-k=,
所以=,
可得|PN|=2|PM|,
得|MN|==|PM|.
所以=,可得|FM|∶|MN|=|PM|∶|MN|=1∶.
答案:1∶
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·长春高二检测)点M(m,4)(m>0)为抛物线x2=2py(p>0)上一点,F为其焦点,已知|FM|=5.
(1)求m与p的值.
(2)以M点为切点作抛物线的切线,交y轴于点N,求△FMN的面积.
【解析】(1)由抛物线定义知,|FM|=+4=5,所以p=2.所以抛物线的方徎为x2=4y,
又由M(m,4)在抛物线上,所以m=4.
故p=2,m=4.
(2)设过M点的切线方程为y-4=k(x-4),
代入抛物线方程消去y得,x2-4kx+16k-16=0,
其判别式Δ=16k2-64(k-1)=0,所以k=2,
切线方程为y=2x-4,
切线与y轴的交点为N(0,-4),抛物线的焦点F(0,1),
所以S△FMN=|FN|·m=×5×4=10.
6.(2016·福州高二检测)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.
(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|.
(2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圆C的半径.
【解析】(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1.
由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),
所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=.
所以|MN|=2=2=2.
(2)设C,则圆C的方程为+(y-y0)2=+,即x2-x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+=0,
设M(-1,y1),N(-1,y2),则
由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4,
所以+1=4,解得y0=±,此时Δ>0.
所以圆心C的坐标为或,
从而|CO|2=,|CO|=,即圆C的半径为.
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