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模块综合检测(一)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．－1 120°角所在的象限是(　　)
A．第一象限　　　　　　 　B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D　－1 120°＝－360°×4＋320°，－1 120°角所在象限与320°角所在象限相同．又320°角为第四象限角，故选D.
2．(江西高考)若sin＝，则cos α＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选C　因为sin＝，所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×2＝.
3．(陕西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2), 若a∥b, 则实数m等于(　　)
A．－ B.
C．－或 D．0
解析：选C　a∥b的充要条件的坐标表示为1×2－m2＝0，∴m＝±，选C.
4.＝(　　)
A．cos 10°
B．sin 10°－cos 10°
C.sin 35°
D．±(sin 10°－cos 10°)
解析：选C　∵1－sin 20°＝1－cos 70°＝2sin235°，
∴＝sin 35°.
5．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝(　　)
A．－10 B．10
C．－ D.
解析：选D　因为a· b＝10，所以x＋8＝10，x＝2，所以a－b＝(－1，－2)，故|a－b|＝.
6．(2013·浙江高考)函数f(x)＝sin xcos x＋·cos 2x的最小正周期和振幅分别是(　　)
A．π，1 B．π，2
C．2π，1 D．2π，2
解析：选A　由f(x)＝sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋·cos 2x＝sin，得最小正周期为π，振幅为1，故选A.
7．已知α满足sin α＝，那么sin·sin的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选A　依题意得，sinsin＝sin＋α·cos＝sin＝cos 2α＝(1－2sin2α)＝.
8．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z.取k＝0，得|φ|的最小值为.
9．已知向量a＝，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，则sin＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选B　a·b＝4sin＋4cos α－＝
2sin α＋6cos α－＝4sin－＝0，
∴sin＝.
∴sin＝－sin＝－，故选B.
10．函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则θ为(　　)
A．kπ，(k∈Z)
B．kπ＋，(k∈Z)
C．kπ＋，(k∈Z)
D．－kπ－，(k∈Z)
解析：选D　f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)＝2cos.由函数为奇函数得－θ＋＝kπ＋(k∈Z)，解得θ＝－kπ－(k∈Z)，故选D.
11．如图，已知正六边形P1P2P3P4­P5P6，下列向量的数量积中最大的是(　　)
A．·
B．·
C．·
D．·
解析：选A　由于⊥，故其数量积是0，可排除C；与的夹角是，故其数量积小于零，可排除D；设正六边形的边长是a，则·＝||·||·cos 30°＝a2，·＝||·||·cos 60°＝a2.
12．已知函数f(x)＝2asin2x－2asin xcos x＋a＋b(a<0)的定义域是，值域为[－5,1]，则a、b的值分别为(　　)
A．a＝2，b＝－5
B．a＝－2，b＝2
C．a＝－2，b＝1
D．a＝1，b＝－2
解析：选C　f(x)＝－a(cos 2x＋sin 2x)＋2a＋b＝－2asin＋2a＋b.
又∵x∈，
∴2x＋∈，
∴－≤sin≤1.
∵－5≤f(x)≤1，a<0，
∴
∴
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．cos＝________.
解析：cos＝cos＝cos＝.
答案：
14．(四川高考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
解析：＋＝＝2，故λ＝2.
答案：2
15．(重庆高考)在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝________.
解析：因为＝－＝(1，k－1)，且⊥，所以·＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.
答案：4
16．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，则y的表达式为________．
解析：由图象，知A＝2，由＝－，求出周期T＝π，ω＝2，然后可求得φ＝.
答案：y＝2sin
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为120°.求：
(1)|a＋b|及|a－b|；
(2)向量a＋b与a－b的夹角．
解：(1)a·b＝|a||b|cos θ＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝22＋22＋2×(－2)＝4，所以|a＋b|＝2，同理可求得|a－b|＝2.
(2)因为(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝22－22＝0，
所以(a＋b)⊥(a－b)，所以a＋b与a－b的夹角为90°.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝asin(2ωx＋)＋＋b(x∈R，a>0，ω>0)的最小正周期为π，函数f(x)的最大值是，最小值是.
(1)求ω、a、b的值；
(2)指出f(x)的单调递增区间．
解：(1)由函数最小正周期为π，得＝π，∴ω＝1，
又f(x)的最大值是，最小值是，
则解得
(2)由(1)知，f(x)＝sin(2x＋)＋，
当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，f(x)单调递增，
∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
19．(本小题满分12分)(福建高考)已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．
(1)求f 的值；
(2)求函数f(x) 的最小正周期及单调递增区间．
解：法一：(1)f＝2cos
＝－2cos
＝2.
(2)因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝sin＋1，
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝sin＋1.
(1)f＝sin＋1
＝sin＋1
＝2.
(2)T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
20．(本小题满分12分)已知向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值；
(2)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d.
解：(1)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
且a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
∴k＝－.
(2)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，∴
解得或
∴d＝，或d＝，.
21．(本小题满分12分)如图所示，是一个半径为10个长度单位的水轮，水轮的圆心离水面5 个长度单位．已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离d与时间t满足的函数关系是正弦曲线，其表达式为＝sin()．
(1)求正弦曲线的振幅和周期；
(2)如果从P点在水中浮现时开始计算时间，写出其有关d与t的关系式；
(3)在(2)的条件下，求P首次到达最高点所用的时间．
解：(1)A＝r＝10.T＝＝15(s)．
(2)由＝sin，得d＝bsin＋k.
b＝A＝10，T＝＝2πa＝15，∴a＝.
由于圆心离水面5个长度单位，
∴k＝5.
∴d＝10sin＋5.
将t＝0，d＝0代入上式，得sin(h)＝，h＝，
∴d＝10sin(t－)＋5.
(3)P到达最高点时d＝10＋5.
∴sin(t－)＝1，得t－＝，t＝(s)．
即P首次到达最高点所用时间为 s.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)·cos ωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx，
所以f(x)＝sin ωxcos ωx＋
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋
＝sin＋.
由于ω>0，依题意得＝π，所以ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋，
所以g(x)＝f(2x)＝sin＋.
当0≤x≤时，≤4x＋≤，
所以≤sin≤1.
因此1≤g(x)≤.
故g(x)在区间上的最小值为1.