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第二章章末检测
班级____　姓名____　考号____　分数____
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列各式叙述不正确的是(　　)
A．若a＝λ b，则a、b共线
B．若b＝3a(a为非零向量)，则a、b共线
C．若m＝3a＋4b，n＝a－2b，则m∥n
D．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c
答案：C
解析：根据共线向量定理及向量的线性运算易解．
2．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是(　　)
A．|a|＝ B．|a·b|＝|a|·|b|
C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|
答案：B
解析：|a·b|＝|a|·|b||cosθ|，只有a与b共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知B是错误的．
3．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e＝＝(3，－4)＝.
4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么(　　)
A.＝ B.＝2
C.＝3 D．2＝
答案：A
解析：由于2＋＋＝0，则＋＝－2＝2.
所以(＋)＝，又D为BC边中点，
所以＝(＋)．所以＝.
5．若|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：a·(b－a)＝a·b－a2＝1×6×cosθ－1＝2，cosθ＝，θ∈[0，π]，故θ＝.
6．若四边形ABCD满足：＋＝0，(＋)⊥，则该四边形一定是(　　)
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．直角梯形
答案：B
解析：由＋＝0⇒∥且||＝||，即四边形ABCD是平行四边形，又(＋)⊥⇒⊥，所以四边形ABCD是菱形．
7．给定两个向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，若(a＋xb)⊥(a－b)，则x等于(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：a＋xb＝(2,1)＋(－3x,4x)＝(2－3x,1＋4x)，a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a＋xb)⊥(a－b)，∴(2－3x)·5＋(1＋4x)·(－3)＝0，∴x＝.
8．如图所示，在重600N的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为(　　)
A．300 N,300 N B．150N,150N
C．300 N,300N D．300N,300N
答案：C
解析：如图：作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，||＝||cos30°＝300 N.
|OB＝||sin30°＝300N.
9．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案：C
解析：由条件知|a|＝，|b|＝2，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝，∵(a＋b)·c＝，∴×·cosθ＝，其中θ为a＋b与c的夹角，∴θ＝60°，∵a＋b＝－a，∴a＋b与a方向相反，∴a与c的夹角为120°.
10．若向量＝(1，－2)，n＝(1,3)，且n·＝6，则n·等于(　　)
A．－8 B．9
C．－10 D．11
答案：D
解析：n·＝1－6＝－5，n·＝n·(＋)＝n·＋n·＝6，∴n·＝11.
11．在边长为1的正三角形ABC中，＝，E是CA的中点，则·等于(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
答案：A
解析：建立如图所示的直角坐标系，则A，B，C，依题意设D(x1,0)，E(x2，y2)，∵＝，∴＝(－1,0)，∴x1＝.
∵E是CA的中点，∴＝，又＝，∴x2＝－，y2＝.
∴·＝·＝×＋×＝－.故选A.
12．已知|a|＝2 ，|b|＝3，a，b的夹角为，如图所示，若＝5a＋2b，＝a－3b，且D为BC中点，则的长度为(　　)
A. B.
C．7 D．8
答案：A
解析：＝(＋)＝(5a＋2b＋a－3b)＝(6a－b)
∴||2＝(36a2－12ab＋b2)＝.
∴||＝.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则a·b＝________.
答案：3
解析：a·b＝2××＝3.
14．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
答案：[0,1]
解析：∵b·(a－b)＝0，∴a·b＝b2，即|a||b|·cosθ＝|b|2，当b≠0时，|b|＝|a|cosθ＝cosθ∈(0,1]，所以|b|∈[0,1]．
15．设向量a与b的夹角为α，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosα＝________.
答案：
解析：设b＝(x，y)，则2b－a＝(2x－3,2y－3)＝
(－1,1)，∴x＝1，y＝2，则b＝(1,2)，
cosα＝＝＝＝.
16．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
答案：②
解析：①a与b的夹角为θ1，a与c的夹角为θ2.
a·b＝a·c，
有|a||b|cosθ1＝|a||c|cosθ2，得不到b＝c，错误．
②a＝(1，k)，b＝(－2,6)，
∵a∥b，∴b＝λa，得k＝－3.正确．
③设|a|＝|b|＝|a－b|＝m(m>0)，
且a与a＋b的夹角为θ.
则有(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝m2，
∴2a·b＝m2.
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝m2＋＝，
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝m2＋m2＋m2＝3m2，
∴cosθ＝＝＝.
∴θ＝30°.∴③错误．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是150°，计算：
(1)(a＋2b)·(2a－b)；
(2)|4a－2b|.
解：(1)(a＋2b)·(2a－b)
＝2a2＋3a·b－2b2
＝2|a|2＋3|a|·|b|·cos150°－2|b|2
＝2×42＋3×4×8×－2×82
＝－96－48 .
(2)|4a－2b|＝
＝
＝
＝
＝8(＋)
18．(12分)已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，t∈R，
(1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值；
(2)若a－tb与c共线，求实数t的值．
解：(1)∵a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，
∴a＋tb＝(－3,2)＋t(2,1)＝(－3＋2t,2＋t)，
∴|a＋tb|＝
＝
＝≥＝，
当且仅当t＝时取等号，即|a＋tb|的最小值为，此时t＝.
(2)∵a－tb＝(－3－2t,2－t)，
又a－tb与c共线，c＝(3，－1)，
∴(－3－2t)×(－1)－(2－t)×3＝0，解得t＝.
19．(12分)已知a＝(1,1)、b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋b共线；
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°.
解：∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)
∵ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)
a＋b＝(1，－1)
(1)要使ka－b与a＋b共线，则－k－(k＋2)＝0，即k＝－1.
(2)要使ka－b与a＋b的夹角为120°，
∵|ka－b|＝，
|a＋b|＝，
∴cos120°＝
＝＝－.
即k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±.
20．(12分)已知向量、、满足条件＋＋＝0，||＝||＝||＝1，求证：△P1P2P3是正三角形．
证明：如图所示，设＝＋，由于＋＋＝0，∴＝－，||＝1，
∴||＝1＝||，∴∠OP1P2＝30°，
同理可得∠OP1P3＝30°，∴∠P3P1P2＝60°.
同理可得∠P2P3P1＝60°，
∴△P1P2P3为正三角形．
21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)，
所以|＋|＝2，|－|＝4，故所求的两条对角线的长分别为4，2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
即5t＝－11，所以t＝－.
22．(12分)设集合D＝{平面向量}，定义在D上的映射f满足：对任意x∈D，均有f(x)＝λx(λ∈R且λ≠0)．
(1)若|a|＝|b|，且a、b不共线，试证明：[f(a)－f(b)]⊥(a＋b)；
(2)若A(1,2)，B(3,6)，C(4,8)，且f()＝，求f()·.
解：(1)证明：∵f(a)－f(b)＝λa－λb＝λ(a－b)，
∴[f(a)－f(b)]·(a＋b)＝λ(a－b)(a＋b)＝λ(a2－b2)＝λ(|a|2－|b|2)＝0，
∴[f(a)－f(b)]⊥(a＋b)．
(2)由已知得＝(2,4)，＝(1,2)，＝(3,6)．
∵f()＝，∴λ＝.
即λ(1,2)＝(2,4)，∴λ＝2.
∴f()·＝(2)·＝(6,12)·(2,4)＝60.