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高中同步创优单元测评
B 卷 数 学
班级：________　姓名：________　得分：________
第三章　函数的应用
名校好题·能力卷]
(时间：120分钟　满分：150分)
第Ⅰ卷　(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝2x＋m的零点落在(－1,0)内，则m的取值范围为(　　)
A．(－2,0)　　　　B．(0,2)　　　　C．－2,0]　　　　D．0,2]
2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(　　)
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不确定
3．下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　)
A．y＝3x＋1 B．y＝x2－1
C．y＝log2(x－1) D．y＝(x－1)2
4．方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间是(　　)
A．－1,0] B．0,1] C．1,2] D．2,3]
5．为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：
x
1.25
1.312 5
1.375
1.437 5
1.5
1.562 5
f(x)
－0.871 6
－0.578 8
－0.281 3
0.210 1
0.328 43
0.641 15
则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为(　　)
A．1.5 B．1.4 C．1.3 D．1.2
6．若函数y＝|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m≤－1 B．－1≤m<0 C．m≥1 D．07．设x0是函数f(x)＝ln x＋x－4的零点，则x0所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
8．如果二次函数y＝x2＋mx＋m＋3不存在零点，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)∪(6，＋∞) B．{－2,6}
C．－2,6] D．(－2,6)
9．由表格中的数据可以判定方程ex－x－2＝0的一个零点所在的区间是(k，k＋1)(k∈Z)，则k的值为(　　)
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.－1 B．0 C．1 D．2
10．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
11．已知函数f(x)＝|log3(x－1)|－x－1有2个不同的零点x1，x2，则(　　)
A．x1·x2<1 B．x1·x2＝x1＋x2
C．x1·x2>x1＋x2 D．x1·x212．若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续的，且存在常数λ(λ∈R)，使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意的实数x成立，则称f(x)是“λ－同伴函数”．下列关于“λ－同伴函数”的叙述中正确的是(　　)
A．“－同伴函数”至少有一个零点
B．f(x)＝x2是一个“λ－同伴函数”
C．f(x)＝log2x是一个“λ－同伴函数”
D．f(x)＝0是唯一一个常值“λ－同伴函数”
第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝的零点个数为________．
14．函数f(x)＝x2＋mx－6的一个零点是－6，则另一个零点是________．
15．若函数f(x)＝lg|x－1|－m有两个零点x1和x2，则x1＋x2＝________.
16．设定义域为R的函数f(x)＝若关于x的方程2f(x)]2－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有五个不同的实数解，则a的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
已知函数f(x)＝
(1)求不等式f(x)>5的解集；
(2)若方程f(x)－＝0有三个不同实数根，求实数m的取值范围．
18．(本小题满分12分)
已知定义在R上奇函数f(x)在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分．
(1)请补全函数f(x)的图象；
(2)写出函数f(x)的表达式(只写明结果，无需过程)；
(3)讨论方程|f(x)|＝a的解的个数(只写明结果，无需过程)．
19．(本小题满分12分)
某上市股票在30天内每股交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：
第t天
4
10
16
22
Q(万股)
36
30
24
18
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；
(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
20．(本小题满分12分)
定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2＋mx－1.
(1)当x∈(0，＋∞)时，求f(x)的解析式；
(2)若方程y＝f(x)有五个零点，求实数m的取值范围．
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝loga(2x＋1)－loga(1－2x)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给予证明；
(2)若函数y＝f(x)与y＝m－loga(2－4x)的图象有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx，(k∈R)为偶函数．
(1)求k的值；
(2)若函数f(x)＝log4(a·2x－a)有且仅有一个根，求实数a的取值范围．
详解答案
第三章　函数的应用
名校好题·能力卷]
1．B　解析：由题意f(－1)·f(0)＝(m－2)m<0，∴02．B　解析：因为f(1.5)>0，f(1.25)<0，所以由零点存在性定理可得，方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25,1.5)内．
3．D　解析：结合函数y＝(x－1)2的图象可知，该函数在x＝1的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．
4．C　解析：方程x3－x－3＝0的实数解，可看成函数f(x)＝x3－x－3的零点．∵f(1)＝－3<0，f(2)＝3>0，∴f(1)·f(2)<0.由零点存在性定理可得，函数f(x)＝x3－x－3的零点所在的区间为1,2]．故选C.
5．B　解析：函数f(x)＝2x＋3x－7的零点在区间(1.375,1.437 5)内，且|1.375－1.437 5|＝0.062 5<0.1，所以方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为1.4.
6．B　解析：函数图象与x轴有公共点，即函数f(x)＝|1－x|，g(x)＝－m有交点．作出f(x)，g(x)的图象，如图所示．
0<－m≤1，即－1≤m<0，故选B.
7．C　解析：∵f(2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>ln e－1＝0，由零点定理得f(2)·f(3)<0.∴x0所在的区间为(2,3)．故选C.
8．D　解析：∵二次函数y＝x2＋mx＋m＋3不存在零点，二次函数图象开口向上，∴Δ<0，可得m2－4(m＋3)<0，解得－29．C　解析：设函数f(x)＝ex－x－2，如果零点在(k，k＋1)，那么f(k)·f(k＋1)<0，由表格分析，f(1)<0，f(2)>0，故k＝1，故选C.
10．B　解析：由定义法证明函数的单调性的方法，得f(x)在(1，＋∞)上为增函数，又1解题技巧：本题主要考查了函数的零点和单调性，解决本题的关键是判断出函数f(x)＝2x＋的单调性．
11．D　解析：∵函数f(x)＝|log3(x－1)|－x－1有2个不同的零点，∴函数f(x)＝|log3(x－1)|与函数g(x)＝x＋1的图象有两个不同的交点．又∵g(x)＝x＋1是减函数，∴－log3(x1－1)>log3(x2－1)，∴(x1－1)(x2－1)<1，整理得x1·x212．A　解析：令x＝0，得f＋f(0)＝0，所以f＝－f(0)．若f(0)＝0，显然f(x)＝0有实数根；若f(0)≠0，f·f(0)＝－(f(0))2<0.又因为函数f(x)的图象是连续不断的，所以f(x)＝0在上必有实数根，即任意“－同伴函数”至少有一个零点．故A正确；
用反证法，假设f(x)＝x2是一个“λ－同伴函数”，则(x＋λ)2＋λx2＝0，即(1＋λ)x2＋2λx＋λ2＝0对任意实数x成立，所以λ＋1＝2λ＝λ2＝0，而此式无解，所以f(x)＝x2不是一个“λ－同伴函数”．故B错误；
因为f(x)＝log2x的定义域不是R.故C错误；
设f(x)＝C是一个“λ－同伴函数”，则(1＋λ)C＝0，当λ＝－1时，可以取遍实数集，因此f(x)＝0不是唯一一个常值“λ－同伴函数”．故D错误．
13．2　解析：依题意可知f(x)＝x2＋2x－3的零点为－3,1，∵x≤0，∴零点为－3.f(x)＝－2＋ln x的零点为e2.故函数有2个零点．
14．1　解析：依题意可知，f(－6)＝(－6)2－6m－6＝0⇒m＝5，所以f(x)＝x2＋5x－6＝(x＋6)(x－1)，令f(x)＝0，解得x＝－6或x＝1，所以另一个零点是1.
15．2　解析：∵函数f(x)＝lg|x－1|－m有两个零点，∴函数y1＝lg|x－1|与函数y2＝m有两个交点，∵y1＝lg|x－1|的图象关于x＝1对称，∴lg|x1－1|＝lg|x2－1|，∴x1＋x2＝2.
16．1＜a<或∴要求对应于f(x)等于某个常数有3个不同实数解，
∴先根据题意作出f(x)的简图：
由图可知，只有当f(x)＝a时，它有三个根．
所以有1＜a＜2①.
再根据2f(x)2－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有两个不等实根，
得：Δ>0即(2a＋3)2－24a>0，a≠②.
结合①②得：1＜a<或解题技巧：本题主要考查了函数零点和方程解的关系，解决本题的关键是找出隐含条件f(x)＝a有3个不同实数解．
17．解：(1)当x≤0时，由x＋6>5，得－1当x>0时，由x2－2x＋2>5，得x>3.
综上所述，不等式的解集为(－1,0]∪(3，＋∞)．
(2)方程f(x)－＝0有三个不同实数根，等价于函数y＝f(x)与函数y＝的图象有三个不同的交点．由图可知1<<2，解得－2所以，实数m的取值范围(－2，－)∪(，2)．
解题技巧：本题主要考查了函数零点和方程解的关系，解决本题的关键是画出函数f(x)图象，使函数y＝f(x)与函数y＝的图象有三个不同的交点，从而求出m的范围．
18．解：(1)补全f(x)的图象如图(1)所示．
①
(2)当x≥0时，设f(x)＝a(x－1)2－2，由f(0)＝0得，a＝2，
所以此时，f(x)＝2(x－1)2－2，即f(x)＝2x2－4x，
当x<0时，－x>0，
所以f(－x)＝2(－x)2－4(－x)＝2x2＋4x，①
又f(－x)＝－f(x)，代入①，得f(x)＝－2x2－4x，
所以f(x)＝
(3)函数y＝|f(x)|的图象如图(2)所示．
②
由图可知，当a<0时，方程无解；
当a＝0时，方程有三个解；
当0当a＝2时，方程有4个解；
当a>2时，方程有2个解．
19．解：(1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P＝t＋2；
从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P＝－t＋8，
故P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为
P＝
(2)由图表，易知Q与t满足一次函数关系，即Q＝－t＋40,0≤t≤30，t∈N.
(3)由以上两问，可知
y＝
＝
当0≤t≤20，t＝15时，ymax＝125，
当20∴在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元．
20．解：(1)设x>0，则－x<0，所以 f(－x)＝－x2－mx－1.
又f(x)为奇函数，即f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝x2＋mx＋1(x>0)．
又f(0)＝0，所以f(x)＝
(2)因为f(x)为奇函数，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，
即方程f(x)＝0有五个不相等的实数解，得y＝f(x)的图象与x轴有五个不同的交点．
又f(0)＝0，所以f(x)＝x2＋mx＋1(x>0)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，
即方程x2＋mx＋1＝0有两个不等正根，记两根分别为x1，x2，
所以解得m<－2.
所以，所求实数m的取值范围是m<－2.
21．解：(1)函数f(x)为奇函数．
证明如下：
∵f(x)的定义域为x∈，关于原点对称，
f(x)＋f(－x)＝loga＋loga＝loga1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)函数y＝f(x)与y＝m－loga(2－4x)的图象有且仅有一个公共点⇔方程loga＝m－loga(2－4x)在区间x∈上有且仅有一个实数解．
m＝loga＋loga2(1－2x)＝loga(4x＋2)．
∵ －∴loga(4x＋2)∈(－∞，loga4)或loga(4x＋2)∈(loga4，＋∞)，
∴当a>1时，m∈(－∞，loga4)，当022．解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，
∴log4－log4(4x＋1)＝2kx，
∴(2k＋1)x＝0，∴k＝－.
(2)依题意知，log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－a)，
整理，得log4(4x＋1)＝log4(a·2x－a)2x]，
∴4x＋1＝(a·2x－a)·2x(*)．
令t＝2x，则(*)变为(1－a)t2＋at＋1＝0(**)只需其仅有一正根．
①当a＝1时，t＝－1不合题意；
②当(**)式有一正一负根时，∴得a＞1；
③当(**)式有两相等的正根时，Δ＝0，∴a＝±2－2，且>0，
∴a＝－2－2.
综上所述，a的取值范围为{a|a＞1或a＝－2－2}．