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课时提升作业(十二)
双曲线及其标准方程
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2015·福建高考)若双曲线E：-=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于　(　　)
A.11 B.9 C.5 D.3
【解析】选B.因为=2a，
所以-=±6，
所以=9或-3(舍去).
【补偿训练】设点P是双曲线-=1上任意一点，F1，F2分别是左、右焦点，若|PF1|=10，则|PF2|=________.
【解析】由双曲线方程，得a=3，b=4，c=5.
当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2|-|PF1|=6，所以|PF2|=|PF1|+6=10+6=16；
当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1|-|PF2|=6，所以|PF2|=|PF1|-6=10-6=4.
故|PF2|=4或|PF2|=16.
答案：4或16
2.一动圆P过定点M(-4，0)，且与已知圆N：(x-4)2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是　(　　)
A.-=1(x≥2) B.-=1(x≤2)
C.-=1 D.-=1
【解析】选C.由已知N(4，0)，内切时，定圆N在动圆P的内部，有|PN|=|PM|-4，
外切时，有|PN|=|PM|+4，故||PM|-|PN||=4，因此2a=4，2c=8，所以b2=12，
点P的轨迹是双曲线-=1.
【误区警示】本题易把“相切”理解为外切或内切，错选A或B.
3.(2015·信阳高二检测)已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0，3)，则k的值为　(　　)
A.1 B.-1 C. D.-
【解析】选B.将双曲线方程化为kx2-y2=1，即-=1.因为一个焦点是(0，3)，所以焦点在y轴上，所以c=3，a2=-，b2=-，所以a2+b2=--=-=c2=9.所以k=-1.
【误区警示】本题有两处易错：一是a2，b2确定错误，应该是a2=-，b2=-；二是a，b，c的关系式用错.在双曲线中应为c2=a2+b2.
4.设过双曲线x2-y2=9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P,Q,F2为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则△F2PQ的周长为　(　　)
A.19 B.26 C.43 D.50
【解析】选B.如图,由双曲线的定义
可得
将两式相加得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a,
所以△F2PQ的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|
=4a+|PQ|+|PQ|=4×3+2×7=26.
5.(2015·开封高二检测)双曲线-=1上一点P到点(5，0)的距离为15，那么该点到(-5，0)的距离为　(　　)
A.7 B.23 C.5或25 D.7或23
【解析】选D.由题知a2=16，b2=9，所以c2=25.
又焦点在x轴上，所以焦点为F1(-5，0)，F2(5，0)，
||PF1|-|PF2||=2a=8，||PF1|-15|=8，
所以|PF1|-15=8或|PF1|-15=-8，
所以|PF1|=23或|PF1|=7.
【拓展提升】求双曲线上的点到焦点的距离的注意点
①若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；
②若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|-|PF2||=2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c-a).
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.已知△ABC的顶点B(-2，0)，C(2，0)，并且sinC-sinB=sinA，则顶点A的轨迹方程是________.
【解析】设△ABC外接圆半径为R，则由：
sinC-sinB=sinA，得：
-=·，
即|AB|-|AC|=2.
所以点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支，并去掉顶点.
因为2a=2，c=2，所以a2=1，b2=c2-a2=3.
故点A的轨迹方程为x2-=1(x>1).
答案：x2-=1(x>1)
7.(2015·山西师大附中高二检测)从双曲线-=1的左焦点F引圆x2+y2=9的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|=________.
【解析】设F2为椭圆右焦点，则|OM|=|PF2|，
|PF|-|PF2|=6.
因为FT是☉O的切线，所以|FT|=4，
所以|MT|=|MF|-|FT|=|PF|-4，
所以|MO|-|MT|=|PF2|-|PF|+4
=4-(|PF|-|PF2|)=1.
答案：1
【补偿训练】若双曲线-=1(m>0，n>0)和椭圆+=1(a>b>0)有相同的焦点F1，F2，M为两曲线的交点，则|MF1|·|MF2|等于________.
【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得
|MF1|-|MF2|=±2，　①
|MF1|+|MF2|=2，　②
②2-①2得，4|MF1|·|MF2|=4a-4m，
所以|MF1|·|MF2|=a-m.
答案：a-m
8.已知双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，-4)，，则双曲线的标准方程为________.
【解析】若曲线的焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为：-=1(a>0，b>0)
依题意得
令m=，n=，则方程组化为：
解这个方程组得
即a2=16，b2=9，所以所求双曲线的标准方程为-=1.
若焦点在x轴上，设所求双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，依题意得此时无解.
综上可得，所求双曲线的标准方程为-=1.
答案：-=1
【一题多解】设所求双曲线方程为Ax2-By2=1(AB>0)，
依题意得解得
故所求双曲线方程为-+=1即-=1.
答案：-=1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.(2015·洛阳高二检测)已知曲线C：+=1(t≠0，t≠±1).
(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线.
(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点.
【解析】(1)当|t|>1时，t2>0，t2-1>0，曲线C为椭圆；
当0<|t|<1时，t2-1<0，曲线C为双曲线.
(2)当|t|>1时，t2-1>0，曲线C是椭圆，且t2>t2-1，
因而c2=t2-(t2-1)=1.
所以焦点为F1(-1，0)，F2(1，0).
当0<|t|<1时，双曲线C的方程为-=1.
因为c2=t2+(1-t2)=1，
所以焦点为F1(-1，0)，F2(1，0).
综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点.
10.(2015·漳州高二检测)已知双曲线-=1的两焦点为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·=0，求M点到x轴的距离.
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程.
【解析】(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，
·=0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|=m，|MF2|=n，
由双曲线定义知，m-n=2a=8，①
又m2+n2=(2c)2=80，②
由①②得m·n=8，
所以mn=4=|F1F2|·h，
所以h=.
(2)设所求双曲线C的方程为
-=1(-4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
所以-=1，
解得λ=4或λ=-14(舍去).
所以所求双曲线C的方程为-=1.
(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.设P为双曲线x2-=1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|∶|PF2|=3∶2,则△PF1F2的面积为　(　　)
A.6　　　　B.12　　　　C.12　　　　D.24
【解析】选B.由已知得2a=2,不妨设P为双曲线右支上一点,又由双曲线的定义得,
|PF1|-|PF2|=2,
又|PF1|∶|PF2|=3∶2,
所以|PF1|=6,|PF2|=4.
又|F1F2|=2c=2.
由余弦定理得cos∠F1PF2==0.
所以三角形为直角三角形.=|PF1|·|PF2|=12.
2.(2015·武威高二检测)已知向量a=(x+1,-ky),b=(y,x-1),且a∥b,则点P(x,y)的轨迹不可能是　(　　)
A.圆 B.椭圆
C.一条直线 D.双曲线
【解析】选C.依题意得(x+1)·(x-1)+ky·y=0,故x2+ky2=1,当k=1时,点P(x,y)的轨迹为圆;当k>0,且k≠1时,点P(x,y)的轨迹为椭圆;当k<0时,点P(x,y)的轨迹为双曲线.当k=0时,点P(x,y)的轨迹为两条直线x=±1,故选C.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2015·武汉高二检测)已知双曲线-=1的一个焦点是(0，2)，椭圆-=1的焦距等于4，则n=________.
【解析】因为双曲线的焦点为(0，2)，
所以焦点在y轴，
所以双曲线的方程为-=1，
即a2=-3m，b2=-m，所以c2=-3m-m=-4m=4，解得m=-1，所以椭圆方程为+x2=1，且n>0，椭圆的焦距为4，所以c2=n-1=4或1-n=4，解得n=5或-3(舍去).
答案：5
4.(2015·盐城高二检测)已知F是双曲线-=1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为________.
【解析】设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|，
所以|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|.
所以当|PF1|+|PA|最小时满足|PF|+|PA|最小.由双曲线的图象可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|+|PA|最小，易求得最小值为|AF1|=5，故所求最小值为9.
答案：9
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.焦点在x轴上的双曲线过点P(4,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.
【解析】因为双曲线焦点在x轴上,
所以设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),F1(-c,0),F2(c,0).
因为双曲线过点P(4,-3),所以-=1.①
又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,
所以·=0,即-c2+25=0.
解得c2=25.②
又c2=a2+b2,③
所以由①②③可解得a2=16或a2=50(舍去).所以b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是-=1.
6.(2015·益阳高二检测)双曲线-y2=1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且满足：∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积.
【解题指南】利用双曲线的定义结合勾股定理表示三角形面积.
【解析】如图，由双曲线方程-y2=1，可知：a2=4，b2=1，c2=a2+b2=5.即a=2，c=.
由双曲线定义，有|PF2|-|PF1|=2a，
所以|PF2|=4+|PF1|.
由∠F1PF2=90°，在直角△F1PF2中，
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
即|PF1|2+(4+|PF1|)2=(2)2，
即|PF1|2+4|PF1|-2=0，由|PF1|>0，
所以|PF1|=-2，可得|PF2|=+2，
所以Rt△F1PF2的面积S=|PF1|·|PF2|=1.
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