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课时提升作业(二十三)
方程的根与函数的零点
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.函数y=-x的零点是　(　　)
A.2 B.-2 C.2,-2 D.(2,-2)
【解析】选C.令-x=0,得=0,
得x=±2.故函数y=-x的零点是±2.
2.若函数f(x)满足在区间(1,2)内有唯一的零点,则　(　　)
A.f(1)·f(2)>0 B.f(1)·f(2)=0
C.f(1)·f(2)<0 D.不确定
【解析】选D.当f(x)在区间(1,2)上单调时,f(1)·f(2)<0,当其不单调时,如f(x)=,就没有f(1)·f(2)<0,而是f(1)·f(2)>0,但f(x)满足在区间(1,2)内有唯一的零点.
3.(2015·梅州高一检测)下列图象表示的函数中没有零点的是　(　　)
【解题指南】由函数零点的意义可得:
函数没有零点⇔函数的图象与x轴没有交点.
【解析】选A.由图象可知,只有选项A中的函数图象与x轴无交点.
4.若x0是方程lgx+x=2的解,则x0属于区间　(　　)
A.(0,1) B.(1,1.25)
C.(1.25,1.75) D.(1.75,2)
【解析】选D.构造函数f=lgx+x-2(x>0),
则函数f的图象在(0,+∞)上是连续不断的一条曲线,
又因为f(1.75)=f=lg-<0,
f=lg2>0,所以f·f<0,
故函数的零点所在区间为(1.75,2),
即方程lgx+x=2的解x0属于区间(1.75,2).
【补偿训练】函数f=2x+3x的零点所在的一个区间是　(　　)
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
【解析】选B.由题意可知f(-2)=-6<0,f(-1)=-3<0,f=1>0,
f>0,f(-1)·f(0)<0,因此在区间(-1,0)上一定有零点.
5.(2015·赤峰高一检测)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2(aA.a<αC.α【解析】选C.f(a)=-2,f(b)=-2,而f(α)=f(β)=0,如图所示,
所以a,b,α,β的大小关系是α二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·十堰高一检测)函数f(x)=的零点是　　　　.
【解析】令=0,即x2-4=0且x-2≠0,解得x=-2,故函数的零点为-2.
答案:-2
【误区警示】本题易认为函数的零点有两个,即由x2-4=0求出x=±2.
7.对于方程x3+x2-2x-1=0,有下列判断:
①在(-2,-1)内有实数根;
②在(-1,0)内有实数根;
③在(1,2)内有实数根;
④在(-∞,+∞)内没有实数根.
其中正确的有　　　　　.(填序号)
【解析】设f=x3+x2-2x-1,
则f(-2)=-1<0,f(-1)=1>0,f=-1<0,
f=-1<0,f=7>0,
则f(x)在(-2,-1),(-1,0)(1,2)内均有零点,即①②③正确.
答案:①②③
【补偿训练】若函数f=2x2-ax+8只有一个零点,则实数a的值等于　　　　.
【解析】因为函数f=2x2-ax+8只有一个零点,
即方程2x2-ax+8=0只有一个解,
则Δ=a2-4×2×8=0,解得a=±8.
答案:±8
8.根据下表,能够判断f(x)=g(x)有实数解的区间是　　　　(填序号).
x
-1
0
1
2
3
f(x)
-0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g(x)
-0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
①(-1,0); ②(0,1); ③(1,2); ④(2,3).
【解析】令F(x)=f(x)-g(x),F(-1)=-0.147<0,
F(0)=-0.44<0,F(1)=0.542>0,
F(2)=0.739>0,F(3)=0.759>0,
所以F(0)·F(1)<0,
所以f(x)=g(x)有实数解的区间是②.
答案:②
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.求下列函数的零点.
(1)f=-6x2+5x+1.
(2)f=x3+1.
(3)f=.
【解析】(1)因为f=-6x2+5x+1=-(6x+1)(x-1),令-(6x+1)(x-1)=0,解得x=-或x=1,
所以f=-6x2+5x+1的零点是-和1.
(2)因为f=x3+1=(x+1)(x2-x+1),
令(x+1)(x2-x+1)=0,解得x=-1,
所以f=x3+1的零点是-1.
(3)因为f==,
令=0,解得x=-1,
所以f=的零点是-1.
10.(2015·九江高一检测)已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.
(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点.
(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.
【解析】(1)函数有两个零点,则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根,易知Δ>0,即4+12(1-m)>0,可解得m<.
由Δ=0,可解得m=;
由Δ<0,可解得m>.
故当m<时,函数有两个零点;
当m=时,函数有一个零点;当m>时,函数无零点.
(2)因为0是对应方程的根,有1-m=0,可解得m=1.
(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.二次函数y=x2-kx-1(k∈R)的图象与x轴交点的个数是　(　　)
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
【解析】选C.因为Δ=b2-4ac=(-k)2-4×1×(-1)=k2+4,无论k为何实数,Δ>0恒成立,即方程x2-kx-1=0有两个不相等的实数根,所以二次函数y=x2-kx-1的图象与x轴应有两个交点.
2.(2015·海口高一检测)已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)内的零点有1003个,则f(x)的零点的个数为　(　　)
A.1003 B.1004 C.2006 D.2007
【解题指南】利用函数为奇函数,则其图象关于原点对称,又f(0)=0,故可判断该函数图象与x轴交点的个数.
【解析】选D.因为f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内有1003个零点,所以在(-∞,0)上也有1003个零点,
又因为f(0)=0,所以共有2006+1=2007个零点.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·玉林高一检测)函数f(x)=-的零点个数为　　　　　.
【解题指南】利用函数与方程思想,把函数的零点个数问题转化为方程解的个数问题,再转化为求两个函数图象的交点个数问题.
【解析】函数f(x)=-的零点个数,是方程-=0的解的个数,
即方程=的解的个数,
也就是函数y=与y=两图象的交点个数.在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图可得交点个数为1个.
答案:1
【补偿训练】函数f=lnx-x+2(x>0)的零点个数是　　　　.
【解析】取g=lnx,h=x-2,(x>0)
则f(x)的零点也就是g(x)与h(x)的交点的横坐标,如图:
由图可知两函数的图象有两个交点,故原函数有两个零点.
答案:2
4.若函数f=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是　　　　.
【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数g(x)=ax与函数h(x)=x+a交点的个数,由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点,01.
答案:(1,+∞)
【补偿训练】已知二次函数y=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3有两个零点,一个大于1,一个小于1,则实数m的取值范围为　　　　　.
【解析】y=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3,
如图,有两种情况.
第一种情况,此不等式组无解.
第二种情况,解得-2综上,m的取值范围是-2答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·南京高一检测)若关于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数k的取值范围.
【解析】令f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,
由图象可得只需f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,
即解得
因此实数k的取值范围为.
【补偿训练】1.已知函数f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1,讨论a为何值时,
(1)函数有一零点.(2)函数有一正一负两零点.
【解题指南】对a分类讨论求解.
【解析】(1)①当a=0时,f(x)=0即为-2x-1=0,则x=-,符合题意;
②当a≠0时,函数为二次函数,若函数有一零点,则Δ=12a+4=0,解得a=-.
故当a=0或a=-时,函数f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1有一零点.
(2)若函数有一正一负两零点,则a≠0且Δ=12a+4>0,且a(a-1)<0,解得0故当02.讨论函数f=(ax-1)(x-2)(a∈R)的零点.
【解析】当a=0时,函数为f(x)=-x+2,则其零点为2.
当a=时,则(x-2)=0,解得x1=x2=2,则其零点为2.
当a≠0,且a≠时,则(ax-1)(x-2)=0,解得x=或x=2,其零点为和2.
6.(2015·南昌高一检测)已知函数f(x)=ax2-4x+2.
(1)若f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.
(2)已知a≤1,若函数y=f(x)-log2在区间[1,2]内有且只有一个零点,试确定实数a的取值范围.
【解析】(1)因为f(2-x)=f(2+x),
所以f(x)的对称轴为x=2,
即-=2,即a=1.所以f(x)=x2-4x+2.
(2)因为y=f(x)-log2=ax2-4x+5-log2x,
设r(x)=ax2-4x+5,s(x)=log2x(x∈[1,2]),
则原命题等价于两个函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点,
当a=0时,r(x)=-4x+5在区间[1,2]内为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,且r(1)=1>s(1)=0,r(2)=-3所以函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点.
当a<0时,r(x)图象开口向下,对称轴为x=<0,
所以r(x)在区间[1,2]内为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,
则由⇒⇒-1≤a≤1,
所以-1≤a<0.
当0所以r(x)在区间[1,2]内为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,
则由⇒⇒-1≤a≤1,
所以0综上所述,实数a的取值范围为[-1,1].
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