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高中同步创优单元测评
B 卷 数 学
班级：________　姓名：________　得分：________
第二章　基本初等函数(Ⅰ)(二)
(对数与对数函数、幂函数)
名校好题·能力卷]
(时间：120分钟　满分：150分)
第Ⅰ卷　(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(　　)
A．(1,2)　　　　　 B．(2,1)　　　　　
C．(－2,1)　　　　　 D．(－1,1)
2．若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y(x>0，y>0)则的值为(　　)
A．4 B．1或 C．1或4 D.
3．下列函数中与函数y＝x相等的函数是(　　)
A．y＝()2 B．y＝
C．y＝2log2x D．y＝log22x
4．函数y＝lg的图象关于(　　)
A．原点对称 B．y轴对称
C．x轴对称 D．直线y＝x对称
5．下列关系中正确的是(　　)
A．log76C．ln 6．已知函数f(x)＝则f的值为(　　)
A. B．4 C．2 D.
7．函数y＝ax2＋bx与y＝logx(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是(　　)
8．若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为(　　)
A．1 B．－3 C．－1 D．3
9．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝(　　)
A．log2x B．logx C. D．x2
10．函数f(x)＝log(x2－3x＋2)的递减区间为(　　)
A. B．(1,2)
C. D．(2，＋∞)
11．函数f(x)＝lg(kx2＋4kx＋3)的定义域为R，则k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．(－∞，0]∪
12．设a>0且a≠1，函数f(x)＝loga|ax2－x|在3,4]上是增函数，则a的取值范围是(　　)
A.∪(1，＋∞) B.∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) D.∪(1，＋∞)
第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．计算27＋lg 0.01－ln ＋3log32＝________.
14．函数f(x)＝lg(x－1)＋的定义域为________．
15．已知函数f(x)＝log3(x2＋ax＋a＋5)，f(x)在区间(－∞，1)上是递减函数，则实数a的取值范围为________．
16．已知下列四个命题：①函数f(x)＝2x满足：对任意x1，x2∈R且x1≠x2都有f0且a≠1)的两根，则x1x2＝1.其中正确命题的序号是________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
(1)计算lg25＋lg 2×lg 500－lg －log29×log32；
(2)已知lg 2＝a，lg 3＝b，试用a，b表示log125.
18.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝lg(3x－3)．
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)设函数h(x)＝f(x)－lg(3x＋3)，若不等式h(x)>t无解，求实数t的取值范围．
19．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x (m∈Z)为偶函数，且f(3)(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝logaf(x)－2x](a>0且a≠1)，求g(x)在(2,3]上的值域．
20．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝lg(k∈R)．
(1)若y＝f(x)是奇函数，求k的值，并求该函数的定义域；
(2)若函数y＝f(x)在10，＋∞)上是增函数，求k的取值范围．
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝log3(m≠1)是奇函数．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝，用函数单调性的定义证明：函数y＝g(x)在区间(－1,1)上单调递减；
(3)解不等式f(t＋3)<0.
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．
(1)求实数k的值；
(2)设g(x)＝log4(a·2x＋a)，若f(x)＝g(x)有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．
详解答案
第二章　基本初等函数(Ⅰ)(二)
(对数与对数函数、幂函数)
名校好题·能力卷]
1．D　解析：由对数函数恒过定点(1,0)知，函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1,1)．
2．B　解析：由对数的性质及运算知，2lg(x－2y)＝lg x＋lg y化简为lg(x－2y)2＝lg xy，即(x－2y)2＝xy，解得x＝y或x＝4y.所以的值为1或.故选B.
3．D　解析：函数y＝x的定义域为R.A中，y＝()2定义域为0，＋∞)；B中，y＝＝|x|；C中，y＝2log2x＝x，定义域为(0，＋∞)；D中，y＝log22x＝x，定义域为R.所以与函数y＝x相等的函数为y＝log22x.
4．A　解析：函数y＝lg的定义域为(－1,1)．
又设f(x)＝y＝lg＝lg，
所以f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，
所以函数为奇函数，故关于原点对称．
5．C　解析：由对数函数图象和性质，得01.所以ln ＜log76＜log3π.故选C.
6．A　解析：∵>0∴f＝log3＝－3，∵－3<0，f(－3)＝2－3＝.故选A.
7．D　解析：A中，由y＝ax2＋bx的图象知，a>0，<0，由y＝logx知，>0，所以A错；
B中，由y＝ax2＋bx的图象知，a<0，<0，由y＝logx知，>0，所以B错；
C中，由y＝ax2＋bx的图象知，a<0，－<－1，∴>1，由y＝logx知0<<1，所以C错．故选D.
8．A　解析：因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以解得m＝1.故选A.
9．B　解析：因为函数y＝f(x)图象经过点(，a)，所以函数y＝ax(a>0且a≠1)过点(a，)，所以＝aa即a＝，故f(x)＝logx.
10．D　解析：令t＝x2－3x＋2，则当t＝x2－3x＋2>0时，解得x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)．且t＝x2－3x＋2在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增；
又y＝logt在其定义域上为单调递减的，所以由复合函数的单调性知，f(x)＝log (x2－3x＋2)单调递减区间是(2，＋∞)．
11．B　解析：因为函数f(x)＝lg(kx2＋4kx＋3)的定义域为R，所以kx2＋4kx＋3>0，x∈R恒成立．①当k＝0时，3>0恒成立，所以k＝0适合题意．②即0解题技巧：本题实际上考查了恒成立问题，解决本题的关键是让真数kx2＋4kx＋3>0，x∈R恒成立．
12．A　解析：令u(x)＝|ax2－x|，则y＝logau，所以u(x)的图象如图所示．
当a>1时，由复合函数的单调性可知，区间3,4]落在或上，所以4≤或<3，故有a>1；
当04，解得≤a<.综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．
13．－　解析：原式＝－2－＋2＝－.
14．(1,5]　解析：要使函数f(x)＝lg(x－1)＋有意义，只需满足即可．解得115．－3，－2]　解析：令g(x)＝x2＋ax＋a＋5，g(x)在x∈是减函数，x∈是增函数．而f(x)＝log3t，t∈(0，＋∞)是增函数．由复合函数的单调性，得解得－3≤a≤－2.
解题技巧：本题主要考查了复合函数的单调性，解决本题的关键是在保证真数g(x)>0的条件下，求出g(x)的单调增区间．
16．①③④　解析：①∵指数函数的图象为凹函数，∴①正确；
②函数f(x)＝log2(x＋)定义域为R，且f(x)＋f(－x)＝log2(x＋)＋log2(－x＋)＝log21＝0，∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．
g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且g(x)＝1＋＝，g(－x)＝＝＝－g(x)，∴g(x)是奇函数．②错误；
③∵f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(7)＝f(6＋1)＝－f(6－1)＝－f(5)，f(5)＝f(4＋1)＝－f(4－1)＝－f(3)，f(3)＝－f(1)，
∴f(7)＝－f(1)，③正确；
④|logax|＝k(a>0且a≠1)的两根，则logax1＝－logax2，∴logax1＋logax2＝0，∴x1·x2＝1.∴④正确．
17．解：(1)原式＝lg25＋lg 5·lg 2＋2lg 2＋lg 5－log39
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2lg 2＋lg 5－2
＝2(lg 5＋lg 2)－2
＝0.
(2)log125＝＝＝＝，
lg 2＝a，lg 3＝b，log125＝＝.
18．解：(1)由3x－3>0解得x>1，所以函数f(x)的定义域为(1，＋∞)．
因为(3x－3)∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的值域为R.
(2)因为h(x)＝lg(3x－3)－lg(3x＋3)＝lg
＝lg的定义域为(1，＋∞)，且在(1，＋∞)上是增函数，所以函数的值域为(－∞，0)．
所以若不等式h(x)>t无解，则t的取值范围为0，＋∞)．
19．解：(1)因为f(3)0，解得－1因为m∈Z，所以m＝0或m＝1.
当m＝0时，f(x)＝x3它不是偶函数．
当m＝1时，f(x)＝x2是偶函数．
所以m＝1，f(x)＝x2.
(2)由(1)知g(x)＝loga(x2－2x)，
设t＝x2－2x，x∈(2,3]，则t∈(0,3]，
此时g(x)在(2,3]上的值域就是函数y＝logat在t∈(0,3]上的值域．
当a>1时，y＝logat在区间(0,3]上是增函数，所以y∈(－∞，loga3]；
当0所以当a>1时，函数g(x)的值域为(－∞，loga3]；当020．解：(1)因为f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，即lg＝－lg，
∴＝，1－k2x2＝1－x2，
∴k2＝1，k＝±1，
而k＝1不合题意舍去，
∴k＝－1.
由>0，得函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)∵f(x)在10，＋∞)上是增函数，∴>0，∴k>.
又f(x)＝lg＝lg，
故对任意的x1，x2，当10≤x1即lg∴<，∴(k－1)·<0，
又∵>，∴k－1<0，∴k<1.
综上可知k∈.
解题技巧：本题主要考查了对数型函数的性质，解决本题的关键是充分利用好奇偶性和单调性．
21．(1)解：由题意得f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x都成立，
所以log3＋log3＝0，即·＝1，
所以1－x2＝1－m2x2对定义域中的x都成立，
所以m2＝1，又m≠1，所以m＝－1，
所以f(x)＝log3.
(2)证明：由(1)知，g(x)＝，
设x1，x2∈(－1,1)，且x10，x2＋1>0，x2－x1>0.
因为g(x1)－g(x2)＝>0，所以g(x1)>g(x2)，
所以函数y＝g(x)在区间(－1,1)上单调递减．
(3)解：函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)，
设x1，x2∈(－1,1)，且x1g(x2)，
所以log3g(x1)>log3g(x2)，即f(x1)>f(x2)，
所以y＝f(x)在区间(－1,1)上单调递减．
因为f(t＋3)<0＝f(0)，所以
解得－322．解：(1)由函数f(x)是偶函数可知f(x)＝f(－x)，
∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx，
化简得log4＝－2kx，
即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－.
(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，
即方程log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x＋a)有且只有一个实根，
化简得方程2x＋＝a·2x＋a有且只有一个实根，且a·2x＋a>0成立，则a>0.
令t＝2x>0，则(a－1)t2＋at－1＝0有且只有一个正根．
设g(t)＝(a－1)t2＋at－1，注意到g(0)＝－1<0，所以
①当a＝1时，有t＝1，符合题意；
②当0③当a>1时，又g(0)＝－1，方程恒有一个正根与一个负根，符合题意．
综上可知，a的取值范围是{－2＋2}∪1，＋∞)．