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  • 资源类别:高三教案
  • 所属教版:高三上册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
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  • 整理时间:2020-12-28
  • 2.5 等比数列的前n项和
    2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用
    从容说课
    师生将共同分析探究等比数列的前n项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法,“错位相减法”也是一种算法,其设计的思路是“消除差别”,从而达到化简的目的.
    等比数列前n项和公式的推导还有许多方法,可启发、引导学生进行探索.例如,根据等比数列的定义可得,
    再由分式性质,得,整理得.
    教学中应充分利用信息和多媒体技术,还应给予学生充分的探索空间.
    教学重点 1.等比数列前n项和公式的推导;
    2.等比数列前n项和公式的应用.
    教学难点 等比数列前n项和公式的推导.
    教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等
    三维目标
    一、知识与技能
    1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题;
    2.探索并掌握等比数列前n项和公式;
    3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式,利用公式知三求一;
    4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.
    二、过程与方法
    1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学;
    2.发挥学生的主体作用,作好探究性活动.
    三、情感态度与价值观
    1.通过生活中有趣的实例,鼓励学生积极思考,激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力;
    2.在探究活动中学会思考,学会解决问题的方法;
    3.通过对有关实际问题的解决,体现数学与实际生活的密切联系,激发学生学习的兴趣.
    教学过程
    导入新课
    师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗?
    生 知道一些,踊跃发言.
    师 “请在第一个格子里放上1颗麦粒,第二个格子里放上2颗麦粒,第三个格子里放上4颗麦粒,以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.
    师 假定千粒麦子的质量为40 g,按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求?
    生 各持己见.动笔,列式,计算.
    生 能列出式子:麦粒的总数为
    1+2+22+…+263=?
    师 这是一个什么样的问题?你们计算出结果了吗?让我们一起来分析一下.
    课件展示:
    1+2+22+…+2 63=?
    师 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列,那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1,公比是2,求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和,就是求这个等比数列的前64项的和.
    现在我们来思考一下这个式子的计算方法:
    记S=1+2+22+23+…+2 63,式中有64项,后项与前项的比为公比2,当每一项都乘以2后,中间有62项是对应相等的,作差可以相互抵消.
    课件展示:
    S=1+2+22+23+…+2 63,①
    2S=2+22+23+…+263+264,②
    ②-①得
    2S-S=2 64-1.
    264-1这个数很大,超过了1.84×10 19,假定千粒麦子的质量为40 g,那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨,因此,国王不能实现他的诺言.
    师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺,导致了一个很不幸的后果的发生,这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识,正是我们这节课所要探究的知识.
    推进新课
    [合作探究]
    师 在对一般形式推导之前,我们先思考一个特殊的简单情形:1+q+q2+…+qn=?
    师 这个式子更突出表现了等比数列的特征,请同学们注意观察.
    生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.
    师 若将上式左边的每一项乘以公比q,就出现了什么样的结果呢?
    生 q+q2+…+qn+q n+1.
    生 每一项就成了它后面相邻的一项.
    师 对上面的问题的解决有什么帮助吗?
    师 生共同探索:
    如果记Sn=1+q+q2+…+qn,
    那么qSn=q+q2+…+qn+q n+1.
    要想得到Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=1-qn.
    师 提问学生如何处理,适时提醒学生注意q的取值.
    生 如果q≠1,则有.
    师 当然,我们还要考虑一下如果q=1问题是什么样的结果.
    生 如果q=1,那么Sn=n.
    师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形,那么,对于等比数列的一般情形我们怎样思考?
    课件展示:
    a1+a2+a3+…+an=?
    [教师精讲]
    师 在上面的特殊简单情形解决过程中,蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法,那就是“错位相减,消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.
    师 在解决等比数列的一般情形时,我们还可以使用“错位相减法”.
    如果记Sn=a1+a2+a3+…+an,
    那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq,
    要想得到Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-anq.
    师 再次提醒学生注意q的取值.
    如果q≠1,则有.
    师 上述过程如果我们略加变化一下,还可以得到如下的过程:
    如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1,
    那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,
    要想得到Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.
    如果q≠1,则有.
    师 上述推导过程,只是形式上的不同,其本质没有什么差别,都是用的“错位相减法”.
    形式上,前一个出现的是等比数列的五个基本量:a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四个;后者出现的是a1,q,Sn,n四个,这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.
    值得重视的是:上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意,就是只有当等比数列的公比q≠1时,我们才能用上述公式.
    师 现在请同学们想一想,对于等比数列的一般情形,如果q=1问题是什么样的结果呢?
    生 独立思考、合作交流.
    生 如果q=1,Sn=na1.
    师 完全正确.
    如果q=1,那么Sn=nan.正确吗?怎么解释?
    生 正确.q=1时,等比数列的各项相等,它的前n项的和等于它的任一项的n倍.
    师 对了,这就是认清了问题的本质.
    师 等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法,下面我们一起再来探讨一下:
    [合作探究]
    思路一:根据等比数列的定义,我们有:,
    再由合比定理,则得,
    即,
    从而就有(1-q)Sn=a1-anq.
    (以下从略)
    思路二:由Sn=a1+a2+a3+…+an得
    Sn=a1+a1q+a2q+…+a n-1q=a1+q(a1+a2+…+a n-1)=a1+q(Sn-an),
    从而得(1-q)Sn=a1-anq.
    (以下从略)
    师 探究中我们们应该发现,Sn-S n-1=an是一个非常有用的关系,应该引起大家足够的重视.在这个关系式中,n的取值应该满足什么条件?
    生 n>1.
    师 对的,请同学们今后多多关注这个关系式:Sn-S n-1=an,n>1.
    师 综合上面的探究过程,我们得出:
    或者
    [例题剖析]
    【例题1】 求下列等比数列的前8项的和:
    (1),,,…;
    (2)a1=27,a9=,q<0.
    [合作探究]
    师生共同分析:
    由(1)所给条件,可得,,求n=8时的和,直接用公式即可.
    由(2)所给条件,需要从中获取求和的条件,才能进一步求n=8时的和.而a9=a1q8,所以由条件可得q8= =,再由q<0,可得,将所得的值代入公式就可以了.
    生 写出解答:
    (1)因为,,所以当n=8时,.
    (2)由a1=27,,可得,
    又由q<0,可得,
    于是当n=8时,.
    【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)?
    师 根据题意,从中发现等比关系,从中抽象出等比数列,并明确这是一个已知Sn=30 000求n的问题.
    生 理解题意,从中发现等比关系,并找出等比数列中的基本量,列式,计算.
    解:根据题意,每年的销售量比上一年增加的百分率相同,所以,从今年起,每年销售量组成一个等比数列{an},其中a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000.
    于是得到,
    整理得1.1n=1.6,
    两边取对数,得nlg1.1=lg1.6,
    用计算器算得≈≈5(年).
    答:大约5年可以使总销售量达到30 000台.
    练习:
    教材第66页,练习第1、2、3题.
    课堂小结
    本节学习了如下内容:
    1.等比数列前n项和公式的推导;特别是在推导过程中,学到了“错位相减法”.
    2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量,一般需要知道其中的3个,才能求出另外一个量.另外应该注意的是,由于公式有两个形式,在应用中应该根据题意所给的条件,适当选择运用哪一个公式.
    在使用等比数列求和公式时,注意q的取值是至关重要的一个环节,需要放在第一位来思考.布置作业
    课本第69页习题2.5 A组第1、2、3题.
    板书设计
    等比数列前n项和公式的推导与应用
    等比数列的前n项和公式
    情境问题的推导 一般情形的推导 例1
    练习:(学生板演) 例2
    练习:(学生板演)
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