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首页 高三 高中数学选修4-5教案 不等式的证明方法之-放缩法与贝努利不等式

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  • 资源类别:高三教案
  • 所属教版:高三上册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:112k
  • 浏览次数:1610
  • 整理时间:2020-12-21
  • 课 题: 第11课时 不等式的证明方法之四:放缩法与贝努利不等式
    目的要求:
    重点难点:
    教学过程:
    一、引入:
    所谓放缩法,即是把要证的不等式一边适当地放大(或缩小),使之得出明显的不等量关系后,再应用不等量大、小的传递性,从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法,尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。
    下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。
    二、典型例题:
    例1、若是自然数,求证
    证明:

    =
    =
    注意:实际上,我们在证明的过程中,已经得到一个更强的结论,这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。
    例2、求证:
    证明:由(是大于2的自然数)


    例3、若a, b, c, dÎR+,求证:
    证:记m =
    三、小结:
    四、练习:
    1、设为大于1的自然数,求证
    2、设为自然数,求证
    五、作业:
    A组
    1、对于任何实数,求证:
    (1);(2)
    2、设,求证:
    (1);(2)
    3、证明不等式.
    4、若都是正数,求证:
    5、若 求证
    6、如果同号,且均不为0. 求证:,并指出等号成立的条件.
    7、设是互不相等的正数,求证:
    8、已知三个正数的和是1,求证这三个正数的倒数的和必不小于9.
    9、若,则.
    10、设,且求证:
    11、已知,求证:(1);(2).
    12、设是互不相等的正数,求证:
    13、已知都是正数,求证:
    (1)(2)
    14、已知求证:
    15、已知求证:
    16、已知都是正数,且有
    求证:
    17、已知都是正数,且,
    求证:
    18、设的三条边为求证.
    19、已知都是正数,设 求证:
    20、设是自然数,利用放缩法证明不等式
    21、若是大于1的自然数,试证
    B组
    22、已知都是正数,且求证:
    23、设,试用反证法证明不能介于与之间。
    24、若是自然数,求证
    链接:放缩法与贝努利不等式
    在用放缩法证明不等式时,有时需要“舍掉几个正项”以便达到目的。就是说,如果在和式里都是正数,可以舍掉,从而得到一个明显成立的不等式.
    例如,对于任何和任何正整数,由牛顿二项式定理可得

    舍掉等式右边第三项及其以后的各项,可以得到不等式: .
    在后面章节的学习中,我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当是正整数的时候成立,而且当是任何大于1的有理数的时候也成立。这就是著名的贝努利不等式。
    在今后的学习中,可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式:设,则在或时,,在时,
    阅读材料:贝努利家族小史
    在数学发展史上,17-18世纪出现了一个著名的数学世家——贝努利(Bernoulli)家族(瑞士),这个家族中的三代人中共出现了8位数学家,它们几乎对当时数学的各个分支都做出了杰出的贡献。其中,又以第一代的雅各布•贝努利(Jacob Bernoulli,1654.12-1705.8)、约翰•贝努利(Johann Bernoulli,1667.8-1748.1)兄弟和第二代的丹尼尔•贝努利(Danial Bernoulli,1700.2-1782.3,约翰•贝努利的儿子)最为著名。
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