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  • 资源类别:高二教案
  • 所属教版:高二上册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:129k
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  • 整理时间:2020-12-17
  • 3.2.2  空间角与距离的计算举例
    【学情分析】:
    教学对象是高二的学生,学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,上次课已经学习了直线的方向向量和平面的法向量,所以本节课是通过举例来求空间的距离和角。我们可以将空间中的有关距离和角的问题,转化为空间向量的数量积来解决。
    【教学目标】:
    (1)知识与技能:能用向量方法进行有关距离的计算;能用向量方法解决线线、线面与面面的夹角的计算问题.
    (2)过程与方法:在解决问题中,通过数形结合的思想方法,加深对相关知识的理解。
    (3)情感态度与价值观:体会把立方体几何几何转化为向量问题优势,培养探索精神。
    【教学重点】:将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算.
    【教学难点】:将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算..
    【课前准备】:Powerpoint课件
    【教学过程设计】:
    教学环节
    教学活动
    设计意图
    一、复习引入
    1.两个向量的数量积如何运算?
    2.向量的模与向量的数量积是什么关系?
    3.向量的加法法则。
    为探索新知识做准备.
    二、探究与练习
    一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
    学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”,与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:
    (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)
    (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)
    (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(回到图形问题)
    二、例题
    例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系?
    解:如图1,设
    化为向量问题
    依据向量的加法法则,
    进行向量运算
    回到图形问题
    这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。
    思考:
    (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系?
    分析:
    (2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
    分析:
    ∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
    (3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(提示:求两个平行平面的距离,通常归结为求两点间的距离)
    分析:面面距离 点面距离 向量的模 回归图形
    解:
    练习:
    如图2,空间四边形OABC各边以及AC,BO的长都是1,点D,E分别是边OA,BC的中点,连结DE,计算DE的长

    例2:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处。从A,B到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为
    a和b,CD的长为c, AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值

    解:如图
    化为向量问题
    根据向量的加法法则
    进行向量运算
    设向量与的夹角为,就是库底与水坝所成的二面角。
    因此
    回到图形问题
    库底与水坝所成二面角的余弦值为
    思考:
    (1)本题中如果夹角 可以测出,而AB未知,其他条件不变,可以计算出AB的长吗?
    分析:

    ∴ 可算出 AB 的长。
    (2)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长,并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等,那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗?
    分析:如图,设以顶点A为端点的对角线长为d,三条棱长分别为 a,b,c,各棱间夹角为.

    (3)如果已知一个四棱柱的各棱长都等a,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗?
    分析:二面角 平面角 向量的夹角 回归图形

    解:如图,在平面 AB1 内过 A1 作 A1E⊥AB 于点 E,在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。
    ∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。
    练习:
    (1)如图4,60°的二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长。

    2)三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,∠A1AB=45°,∠A1AC=60°,求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。

    让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。
    例1的图形比较规范,容易把握,可以让学生很好地体会向量解题的优势。
    提醒学生不能缺少这一步。
    转化为向量。
    这是例题1的推广,方法类似,学生进一步体会.
    让学生体会空间距离的转化。
    及时进行类比训练,巩固所学方法和技能。
    例2是关于角的有关问题,引导学生找到相应的向量进行转化。
    以下设计与例1类似。
    三、拓展与提高
    如图6,在棱长为a的正方体 中,E,F分别是棱 AB,BC上的动点,且AE=BF。
    (1)求证: ;
    (2)当三棱锥 的体积取最大值时,求二面角
    的正切值。

    学生进行提高训练应用.
    四、小结
    1.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
    2.面面距离点面距离向量的模回归图形
    二面角平面角向量的夹角回归图形
    反思归纳
    五、作业
    课本P121 第 2、4 题。
    练习与测试:
    (基础题)
    1.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为( )
    A.75° B.60° C.45° D.30°
    答:C。
    2.如图,在棱长为2的正方体中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是、AD的中点。那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于( )
    A. B. C. D.
    答:B。
    3,把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为 )
    A.90°   B. 60°   C,45°    D. 30°
    答:C。
    4,已知是两条异面直线的公垂线段,,则所成的角为 .
    答:或。
    (中等题)
    5,一条线段夹在一个直二面角的两个面内,它和两个面所成的角都是30°,
    这条线段与这个二面角的棱所成的角为 。
    答:
    6,棱长为4的正方体中,是正方形的中心,点在棱上,且.
    (Ⅰ)求直线与平面所成的角的三角函数值;
    (Ⅱ)设点在平面上的射影是,求证:.
    解:(1)连BP,则角APB为直线与平面所成的角,

    (2)
    所以
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