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教学目标：
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．
3．了解直接证明的基本方法：分析法、综合法和数学归纳法；了解分析法、综合法和数学归纳法的思考过程、特点．
4．了解本章知识结构，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识．
教学重点：
了解本章知识结构，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识．
教学难点：
认识数学本质，把握数学本质，灵活选择并运用所学知识解决问题．
教学过程：
1、知识回顾
本章知识结构：
基础知识过关：
（1）合情推理包括 推理、 推理．
（2） 称为归纳推理；它是一种由 到 ，由 到 的推理．
（3） 称为类比推理；它是一种由 到 的推理．
（4）归纳推理的一般步骤是：① ，② ．
（5）类比推理的一般步骤是：① ，② ．
（6）从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们称这种推理为 ，它是一种 到 的推理．
（7） 和 是直接证明的两种基本方法．
（8）反证法证明问题的一般步骤：① ，② ，
③ ；④ ．
（9）数学归纳法的基本思想 ；
数学归纳法证明命题的步骤：① ，② ，
③ ．
二、数学运用
例1 （1）考察下列一组不等式：23＋53＞22·5＋2·52，24＋54＞23·5＋2·53，25＋55＞23·52＋22·53，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 ．
（2）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为 ．
（3）若数列{an}是等差数列，对于bn＝(a1＋a2 ＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于dn＞0，则dn＝ 时，数列{dn}也是等比数列．
解 （1）；
（2）体积比为1∶8；
（3）．
说明 （1）是从个别情况到一般情况的合情推理；
（2）是从平面到空间的类比推理；
（3）是从等差数列到等比数列的类比推理．
例2 若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，分别用综合法和分析法证明：．
证明 （分析法）要证，
只需证，
即证，
∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴C＝60°，
由余弦定理得，即，
故原命题成立．
（综合法）∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴C＝60°，
由余弦定理得，即，
或，
两边同除以得．
说明 分析法和综合法是两种常用的直接证明方法．分析法的特点是执果索因，综合法的特点是由因导果，分析法常用来探寻解题思路，综合法常用来书写解题过程．
例3 已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于．
分析 “不能同时大于”包含多种情形，不易直接证明，可考虑反证法．
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a同时大于，
即 (1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞，
∵a，b，c∈(0，1)，
∴三式同向相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞，
又，
同理，，
∴(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞，这与假设矛盾，故原命题得证．
说明 反证法属于“间接证明法”，是从反面的角度思考问题的证明方法．用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种情况：
（1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾；
（2）导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；
（3）导出一个恒假命题．
使用反证法证明问题时，准确地作出反设（即否定结论），是正确运用反证法的前提．当遇到否定性、惟一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法．
例4 已知数列{an}，an ≥0，a1＝0，an＋12＋an＋1－1＝ an 2(n∈N*)
记Sn＝a1＋a2＋…＋an．Tn
．
求证：当n∈N*时，（1）an＜an＋1 ；（2）Sn＞n－2 ；（3）Tn＜3．
解 （1）证明：用数学归纳法证明．
1n＝1时，因为a2是方程x2＋x－1＝0的正根，所以a1＜a2．
2设当n＝k(k∈N*)时，ak＜ak＋1，
因为ak＋12－ak2＝(ak＋22＋ak＋2－1)－(ak＋12＋ak＋1－1)
＝(ak＋1－ak＋1) (ak＋1＋ak＋1＋1)，
所以ak＋1＜ak＋2．
即当n＝k＋1时，an＜an＋1也成立．
根据①和②，可知an＜an＋1对任何n∈N*都成立．
（2）证明：由ak＋12＋ak＋1－1＝ak2，k＝1，2，…，n－1（n≥2），
得an2＋(a2＋a3＋…＋an)－(n－1)＝a12．
因为a1＝0，所以Sn＝n－1－an2．
由an＜an＋1及an＋1＝1＋an2－2an＋12＜1，得an＜1，
所以Sn＞n－2．
（3）证明：由ak＋12＋ak＋1＝1＋ak2≥2 ak，得
( k＝2，3，…，n－1，n≥3)
所以( a≥3)，
于是＝＜( n≥3)，
故当n≥3时，，
又因为T1＜T2＜T3，
所以Tn＜3．
三、学生总结
引导学生从知识、方法、收获三个方面进行小结，明确推理、归纳推理的概念及彼此间的关系．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力．
四、课后作业
教材第102—103页复习题第3题，第4题，第5题，第9题，第12题，第13题．
教学目标：
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．
3．了解直接证明的基本方法：分析法、综合法和数学归纳法；了解分析法、综合法和数学归纳法的思考过程、特点．
4．了解本章知识结构，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识．
教学重点：
了解本章知识结构，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识．
教学难点：
认识数学本质，把握数学本质，灵活选择并运用所学知识解决问题．
教学过程：
1、知识回顾
本章知识结构：
基础知识过关：
（1）合情推理包括 推理、 推理．
（2） 称为归纳推理；它是一种由 到 ，由 到 的推理．
（3） 称为类比推理；它是一种由 到 的推理．
（4）归纳推理的一般步骤是：① ，② ．
（5）类比推理的一般步骤是：① ，② ．
（6）从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们称这种推理为 ，它是一种 到 的推理．
（7） 和 是直接证明的两种基本方法．
（8）反证法证明问题的一般步骤：① ，② ，
③ ；④ ．
（9）数学归纳法的基本思想 ；
数学归纳法证明命题的步骤：① ，② ，
③ ．
二、数学运用
例1 （1）考察下列一组不等式：23＋53＞22·5＋2·52，24＋54＞23·5＋2·53，25＋55＞23·52＋22·53，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 ．
（2）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为 ．
（3）若数列{an}是等差数列，对于bn＝(a1＋a2 ＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于dn＞0，则dn＝ 时，数列{dn}也是等比数列．
解 （1）；
（2）体积比为1∶8；
（3）．
说明 （1）是从个别情况到一般情况的合情推理；
（2）是从平面到空间的类比推理；
（3）是从等差数列到等比数列的类比推理．
例2 若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，分别用综合法和分析法证明：．
证明 （分析法）要证，
只需证，
即证，
∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴C＝60°，
由余弦定理得，即，
故原命题成立．
（综合法）∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴C＝60°，
由余弦定理得，即，
或，
两边同除以得．
说明 分析法和综合法是两种常用的直接证明方法．分析法的特点是执果索因，综合法的特点是由因导果，分析法常用来探寻解题思路，综合法常用来书写解题过程．
例3 已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于．
分析 “不能同时大于”包含多种情形，不易直接证明，可考虑反证法．
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a同时大于，
即 (1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞，
∵a，b，c∈(0，1)，
∴三式同向相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞，
又，
同理，，
∴(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞，这与假设矛盾，故原命题得证．
说明 反证法属于“间接证明法”，是从反面的角度思考问题的证明方法．用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种情况：
（1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾；
（2）导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；
（3）导出一个恒假命题．
使用反证法证明问题时，准确地作出反设（即否定结论），是正确运用反证法的前提．当遇到否定性、惟一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法．
例4 已知数列{an}，an ≥0，a1＝0，an＋12＋an＋1－1＝ an 2(n∈N*)
记Sn＝a1＋a2＋…＋an．Tn
．
求证：当n∈N*时，（1）an＜an＋1 ；（2）Sn＞n－2 ；（3）Tn＜3．
解 （1）证明：用数学归纳法证明．
1n＝1时，因为a2是方程x2＋x－1＝0的正根，所以a1＜a2．
2设当n＝k(k∈N*)时，ak＜ak＋1，
因为ak＋12－ak2＝(ak＋22＋ak＋2－1)－(ak＋12＋ak＋1－1)
＝(ak＋1－ak＋1) (ak＋1＋ak＋1＋1)，
所以ak＋1＜ak＋2．
即当n＝k＋1时，an＜an＋1也成立．
根据①和②，可知an＜an＋1对任何n∈N*都成立．
（2）证明：由ak＋12＋ak＋1－1＝ak2，k＝1，2，…，n－1（n≥2），
得an2＋(a2＋a3＋…＋an)－(n－1)＝a12．
因为a1＝0，所以Sn＝n－1－an2．
由an＜an＋1及an＋1＝1＋an2－2an＋12＜1，得an＜1，
所以Sn＞n－2．
（3）证明：由ak＋12＋ak＋1＝1＋ak2≥2 ak，得
( k＝2，3，…，n－1，n≥3)
所以( a≥3)，
于是＝＜( n≥3)，
故当n≥3时，，
又因为T1＜T2＜T3，
所以Tn＜3．
三、学生总结
引导学生从知识、方法、收获三个方面进行小结，明确推理、归纳推理的概念及彼此间的关系．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力．
四、课后作业
教材第102—103页复习题第3题，第4题，第5题，第9题，第12题，第13题．
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