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空间向量与立体几何(复习二)
【学情分析】：
学生能用向量计算空间角、空间距离。但有时建立的坐标系并非直角。由于法向量的方向有两个，导致计算的角的大小与实际情况不一致，不善于取舍、修正。
【教学目标】：
（1）知识目标：运用空间向量计算空间角及空间距离计算。适当运用传统方法。
（2）过程与方法目标：总结归纳，讲练结合，以练为主。
（3）情感与能力目标：提高学生的计算能力和空间想象能力。
【教学重点】：。计算空间角。
【教学难点】：计算空间角，角的取舍。
【课前准备】：投影
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习
1。两条异面直线所成的角，转化为分别与这两条异面直线共线的两个向量的夹角（或补角）。（要特别关注两个向量的方向）
2。直线与平面所成的角，先求
直线与平面的法向量的夹角（取锐角）
再求余角。
3。二面角的求法：
方法一：转化为分别是在二面角的
两个半平面内且与棱都垂直的两条直线
上的两个向量的夹角
（注意：要特别关注两个向量的方向）
如图：二面角α-l-β的大小为θ，
A，B∈l，ACα，BDβ, AC⊥l，BD⊥l
则θ=<, >=<,
方法二：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角（或补角）。
4。点P到平面的距离：
先在内任选一点Q，求出PQ与平面的夹角θ
则
这里只用向量解题，没包括传统的解法。
二、实例
例2．如图，三棱锥P—ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=，点E，点F分别是PC，AP的中点.
（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；
（2）求异面直线AE与BF所成的角；
（3）求二面角A—BE—F的平面角.
解：（1）∵PB⊥平面ABC，∴平面PBC⊥平面ABC，
又∵AC⊥BC， ∴AC⊥平面PBC ∴侧面PAC⊥侧面PBC.
（2）以BP所在直线为z轴，CB所在直线y轴，
建立空间直角坐标系，由条件可设
（3）平面EFB的法向量=(0,1,1)，
平面ABE的法向量为=（1，1，1）
例3．如图，
正方体ABCD—A1B1C1D1
的棱长为1，E、F
、M、N分别是
A1B1、BC、
C1D1、B1C1的中点.
（I）用向量方法求直线EF与MN的夹角；
（II）求直线MN与平面ENF所成角的余弦值；
（III）求二面角N—EF—M的平面角的余弦值.
解：建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，
则有E（，0，1，），F（1，，0），M（，1，1），N（1，，1）. （1）∵EF=（，，-1），MN=（，-，0），
∴EF·MN=（，，-1）·（，-，0）=-+0=0.
∴EF⊥MN，即直线EF与MN的夹角为90°.
（2）由于FN=（0，0，1），MN=（，-，0），
∴FN·MN=0，∴FN⊥MN.
∵EF∩FN=F，∴MN⊥平面ENF.所成角的余弦为零。
（3）二面角M—EF—N的平面角的余弦值为.
此处可引导特色班的学生尝试传统的方法来解题。
三、小结
（见一）
四、作业
1．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG.
（Ⅰ）确定点G的位置；
（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.
解：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则F（1，0，0），
E（1，1，0）
，A（0，2，0），
C1（0，0，2），

设G（0，2，h），则
∴－1×0+1×（－2）+2h=0. ∴h=1，即G是AA1的中点.
（Ⅱ）设是平面EFG的法向量，
则
所以
平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）
∵
∴， 即AC1与平面EFG所成角为
2．在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，
CB=3，AB=4，∠A1AB=60°.
（Ⅰ）求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）求直线A1C与平面BCC1B1所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点C1到平面A1CB的距离.
答案：（Ⅰ）先证 BC⊥平面A1ABB1，
∴平面CA1B⊥平面AA1BB1，
（Ⅱ）
（Ⅲ）C1到平面A1BC的距离为.
教学与测试
（基础题）
1．空间四边形中，，，
则<>的值是（ ）
A． B． C．－ D．
答：D 。
2．2．若向量，则这两个向量的位置关系是___________。
答：垂直 。
3．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中
.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设.
∵为平行四边形，
（II）设为平面的法向量，
的夹角为，则
∴到平面的距离为
4．如图，在长方体，中，，点在棱上移动.（1）证明：；
（2）当为的中点时，求点到面的距离；
（3）等于何值时，二面角的大小为.
解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则
（1）
（2）因为为的中点，则，从而，
，设平面的法向量为，则
也即，得，从而，所以点到平面的距离为
（3）设平面的法向量，∴
由 令，
∴
依题意
∴（不合，舍去）， .
∴时，二面角的大小为.
（中等题）
5．如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：
（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值.
解：（I）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系.
由于，
在三棱柱中有
,
设

又侧面，故. 因此是异面直线的公垂线，
则，故异面直线的距离为.
（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角.
6．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上
一点，. 已知
求（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的大小.
解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为
轴建立空间直角坐标系.
由已知可得
设
由，
即 由，
又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线
,的距离为.
（Ⅱ）作，可设.由得
即作于，设，
则
由，
又由在上得
因故的平面角的大小为向量的夹角.
故 即二面角的大小为