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《概率论与数理统计》教学大纲
说   明
1、大纲用于数学教育专业（专科）《概率论与数理统计》课程之教学。
2、课程教学目的与要求：概率论与数理统计是研究随机现象客观规律并付诸应用的数学学科，是工科本科各专业的一门重要基础理论课程。专科开设概率论与数理统计，教学内容偏重于概率论部分，使学生较好的掌握概率论特有的分析概念。数理统计部分只讲授数理统计基本知识、参数估计、假设检验三章节。每章配备习题课，帮助学生加深对基本概念的理解和掌握，熟悉各种公式的应用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。学习本课程，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，初步学会处理随机现象的基本思想和方法，培养解决实际问题的能力。
3、大纲内容包括各章节教学内容、教学要求、教学重点及难点。
4、课程涉及到的基础知识有：排列组合、高等数学、线性代数等基础课程。
5、学时安排：
本课程总学时为72学时，各部分学时安排如下：
章  节
教  学  内  容
教学时数
习题课
第一章
事件与概率
10
4
第二章
随机变量及其分布
12
4
第三章
多维随机变量及其分布
8
2
第四章
随机变量的数字特征
8
2
第五章
数理统计基本知识
6
第六章
参数估计
6
2
第七章
假设检验
6
2
教   学   内   容
第一章   随机事件及其概率
[本章教学目的及要求]学习本章，要求掌握随机事件、事件概率、独立性及条件概率等基本概念；掌握概率的性质，概率乘法公式，掌握古典概型及其解题方法，掌握伯努利概型。要求在掌握有关基本概念和方法的基础上能解答一些常见的、一般性的概率问题。
第一节  样本空间、随机事件
一、必然现象和随机现象：用例子说明。
二、随机试验与事件：随机试验应满足的三个条件，频率、统计规律性。
三、样本空间：例题说明怎样选择和确定样本空间。
四、事件的关系和运算：利用集合论中集合的关系和运算并结合图形，讲叙随机事件的关系和运算。
   第二节  概率的定义及性质
一、频率及概率：由频率的几条性质，引出概率的定义。
二、概率定义：给出定义，强调其中可列可加性。
三、概率的性质：规范性、非负性、加法公式等。
第三节  古典概型
一、古典概型：给出古典概型应满足的条件及计算公式。
二、古典概型：关于古典概型的几个例题，其中有超几何分布。
第四节  条件概率、概率乘法公式
一、条件概率：条件概率的定义及相关例题。
二、概率乘法公式：乘法公式及相关例题，乘法公式与条件概率计算公式之间的关系。
三、全概率公式和贝叶斯公式：推导全概率公式和贝叶斯公式，例题分析及应用公式。
  第五节  随机事件独立性。
一、两个事件独立性：给出两个事件独立性定义。利用独立性解题的例子。
二、关于独立性的定理：给出定理并加以证明。用定理结论解题的例子。
三、多个事件独立性：相互独立和两两独立的概念。
第六节  伯努利概型
一、n重独立试验：n重独立试验的概念，伯努利概型。
二、二项分布：二项分布解析式，利用二项分布解题的例子。
[本章教学重点及难点]
教学重点：概率的性质，事件独立性，条件概率，古典概型，伯努利概型。
教学难点：条件概型，全概率公式及贝叶斯公式。
第二章    随机变量及其分布
[本章教学目的及要求]学习本章，要求正确理解和熟悉关于随机变量、随机变量概率分布，概率密度等基本概念；掌握一维随机变量常见的离散型和连续型分布，会计算随机变量某个值或在某个区间取值的概率；理解并基本掌握随机变量的函数的分布。
第一节  随机变量的概念
一、引入随机变量：以随机变量的取值替代随机事件。
二、随机变量定义：给出定义，并说明随机变量主要分离散型和连续型两类。
  第二节  离散型随机变量
一、给出定义，说明离散型随机变量可取可列无限个值。
二、常见的离散型分布：介绍单点分布、两点分布、二项分布、泊松分布、超几何分布。
第三节  连续型随机变量
一、定义：给出定义。
二、概率密度的性质：介绍非负性、规范性。
三、常见的连续型分布：介绍均匀分布、指数分布。
第四节  随机变量的分布函数
一、定义：给出定义，说明离散型是求和，连续型是积分。
二、分布函数的性质：给出分布函数几条性质。求随机变量分布函数的例题。
第五节  正态分布
一、密度函数：给出密度函数并作简图，指出其为轴对称图形。
        二、分布函数：给出分布函数，标准正态分布及其性质，利用正态分布数值表，计算有关概率。
[本章重点及难点]
教学重点：随机变量的概率分布，常见的离散型和连续型概率分布，计算随机变量取某个值或在某区间取值的概率，随机变量的函数的分布。
教学难点：随机变量的函数的分布，随机变量的分布函数及其性质。
第三章  多维随机变量及其分布
[本章教学目的及要求] 学习本章，要求熟悉二维随机变量联合分布函数、二维离散型随机变量的概率分布及其性质、二维连续型随机变量的密度函数及其基本性质；要求掌握联合分布与边际分布的关系，掌握已知二维联合概率分布求随机向量在某个区域取值的概率，掌握随机变量独立性概念，会判断两个随机变量是否相互独立；了解二维正态分布和二维均匀分布；会求简单的两个独立随机变量的和的分布。
第一节  多维随机变量及分布
一、二维随机变量的联合分布：联合分布的概念及其基本性质。
二、常见的三维随机变量：二维均匀分布、二维正态分布。
三、二维随机的变量的边际分布：介绍边际分布函数、边际密度函数、边际概率分布以及边际分布可由联合分布确定。
第二节  随机变量独立性
一、两个随机变量独立性：介绍用分布函数给出的定义，分别针对离散型和连续型两个随机变量相互独立的定理。
二、多个随机变量独立性：在两个随机变量独立习性定义的基础上，类似可得到多个随机变量相互独立的定义及相关定义。
第三节  随机变量函数的分布
一、概念：例题说明及推导随机变量的函数的分布。
二、和的分布：例题介绍两个相互独立随机变量的和的分布。
[本章重点及难点]
教学重点：二维离散型及连续型联合概率分布及其性质，边际分布的概念，随机变量的独立性，二维随机向量在某个区域取值的概率。
教学难点：两个随机变量的函数的分布，和的分布。
第四章  随机变量的数字特征
[本章教学目的及要求] 学习本章，要求正确理解和熟悉关于随机变量的数学期望方差、矩及多维随机变量的协方差、相关系数等基本概念；掌握数学期望及方差的性质，会求随机变量及随机变量的函数的数学期望和方差，会计算二维随机变量的协方差及相关系数；了解大数定理和中心极限定理。
第一节  数学期望
一、数学期望的定义：分别就离散型和连续型跟出随机变量数学期望的定义。
二、常见分布的数学期望：计算二项分布均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望。
三、随机变量函数的数学期望：给出相关定理，并举例。
四、数学期望的性质：五条性质证明。求超几何分布数学期望的例题。
第二节  方差
一 、方差的定义：给出方差的定义及推导常用于计算方差的公式。
二、常见分布的方差：计算二项分布、均匀分布、泊松分布、指数分布和正态分布的方差。
三、方差的性质：四条性质证明。
第三节  原点矩与中心矩
分别给出随机变量K阶原点矩及K阶中心矩的定义，指出一阶原点矩即是数学期望二阶中心矩即是方差
第四节  协方差与相关系数
一、协方差：给出协方差定义并推导常用于计算协方差的式子。两个随机变量不相关概念，及独立与不相关的关系。
二、相关系数：给出相关系数的定义及相关系数的简单性质。
第五节  切比雪夫不等式与大数定律
一、切比雪夫不等式：给出切比雪夫不等式并证明。
二、大数定律：切比雪夫大数定律，伯努利大数定律。例题。
第六节 中心极限定理
一、林德贝格——列维中心极限定理：讲解定理及例题。
    二、德莫佛——拉普拉斯中心极限定理：讲解定理及例题。
[本章重点及难点]
教学重点：随机变量的数学期望和方差的概念及其性质，二维随机变量的协方差和相关系数的概念及其性质，各种数字特征的计算。
教学难点：大数定律和中心极限定理及其应用。
第五章  数理统计的基本知识
[本章教学目的及要求] 学习本章，要求熟悉简单随机样本，统计量，样本均值，样本方差等基本概念；掌握正态总体的分布，会查X-分布，T-分布，F-分布数值表
第一节  总体和样本
总体，样本，样本容量及简单随机样本等基本概念。
第二节  样本函数和统计量
一、样本函数及统计量的概念。
二、常见的几个统计量：样本均值，样本方差，样本标准差，样本K阶原点及中心距。
第三节  X-分布 、T-分布、F-分布
X-分布，T-分布  F-分布是数理统计三大分布，分别讲解它们的构成，概率密度简图及数值表。
第四节  正态总体统计量的分布。
一、单个正态总体统计量的分布：五个定理的条件  结论  讲叙并证明其中4个。
二、两个正态总体统计量的分布：四个定理一个推论，讲叙并证明其中两个。
[本章重点及难点]
教学重点：X分布   T分布   F分布，正态总体统计量的分布
教学难点：正态总体统计量分布。
第六章   参 数 估 计
[本章教学目的及要求] 参数估计是数理统计的重点内容之一。学习本章，要求能够掌握点估计的两种方法：距法和极大似然法；掌握估计优良的两个标准；无偏性和有效性：掌握区间估计的基本方法。
第一节  参数的点估计
一、距法估计：距估计的基本方法，求总体服从均匀分布、泊松分布及正态分布时的参数距估计。
二、极大似然估计：似然函数及极大似然估计的基本思想，极大似然估计的基本步骤，求总体服从单点分布、指数分布、正态分布时的参数极大似然估计。
第二节  判别估计计量好坏的标准
一、无偏性：  无偏估计的概念，验正样本均值和样本方差分别是总体均值和总体方差的无偏估计。
二、有效性：  估计量有效的概念。例题。
第三节  正态总体参数的区间估计
一、区间估计的概念：区间估计的基本思想方法；置位区间、置信水平、置信上限及置信下限等基本概念。
二、正态总体均值的区间估计：（1）已知总体方差对总体均值作区间估计。（2）未知总体方差对总体均值作区间估计。
三、正态总体方差的区间估计：（1）已知总体均值对总体方差作区间估计。（2）未知总体均值对总体方差作区间估计。
[本章重点及难点]
教学重点：点估计距法和极大似然法，无偏和有效性。
教学难点：区间估计。
第七章   假 设 检 验
[本章教学目的以要求]假设检验同估计理论一样，也是数理统计的重要内容之一，是从不同角度处理待检参数的一种统计方法。学习本章，要求正确理解和熟悉假设检验的基本思想，掌握正态总体均值和方差的假设检验；了解非正态总体参数的假设检验；了解分布函数的拟合检验。
第一节  假设检验的基本概念
一、假设检验的基本思想：实例提出假设检验的思想方法和步骤；引出原假设、备择假设、显著性水平、拒绝域以及小概率事件原理等基本概念。
二、双侧检验和单侧检验：双侧及单侧检验的概念，拒绝域的不同取法并图示。
三、假设检验可能犯的两类错误。
四、假设检验的一般步骤。
第二节  单个正态总体参数的假设检验
一、关于正态总体均值的假设检验：分总体方差已知和总体方差未知两种情况。
二、关于正态总体方差的假设检验：分总体均值已知和总体均值未知两种情况。
三、两个正态总体均值是否相等的假设检验。
四、两个正态总体方差是否相等的假设检验
第三节  非正态总体参数的假设检验
大样本（n≤50）的情况。利用中心极限定理构造统计量，对检验总体均值作假设检验。用“0-1”作分布为实例。
第四节  总体分布的拟合检验
介绍皮尔逊X拟合检验法的基本思想、方法步骤。
[本章教学重点及难点]
教学重点：假设检验思想  方法及步骤 ；正态总体均值和方差的假设检验。
教学难点：总体分布的拟合检验。出版社。
参  考  书  目
1、《概率论与数理统计》，王明慈、沈恒范主编，高等教育出版社。
2《概率论与数理统计》，浙江大学编  高等教育出版社
3《概率论与数理统计》，王展青主编 高等教育出版社
                                                撰稿人:  谷铁松