本文由 stone1001 收集发布，转载请注明出处，如有问题请联系我们！高二下册数学2.1 合情推理与演绎推理（二）
2.1 合情推理与演绎逻辑（二）
【内容分析】：
类比是重要的推理方法，在掌握一定的数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方法。
【教学目标】：
1、知识与技能：
（1）结合数学实例，了解类比推理的含义
（2）能利用类比方法进行简单的推理，
2、过程与方法：
通过课例，加深对类比这种思想方法的认识。
3、情感态度与价值观：
体验并认识类比推理在数学发现中的作用。
【教学重点】：
（1）体会并实践类比推理的探索过程
（2）类比推理的局限
【教学难点】：
引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、问题情景
学生阅读
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯
2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇
3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征;
1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;
2)有大气层,在一年中也有季节变更;
3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
4．利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.
引入课题
通过阅读教材体会类比推理的思维过程
二、概念教学
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比练习：
(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？
(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？
由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材73探究 填表）
小结：平面→空间，圆→球，线→面.
讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.
类比推理――联想――普遍联系
三、例题讲解
例2：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）
类比角度
实数的加法
实数的乘法
运算结果
若则
若则
运算律
逆运算
加法的逆运算是减法，使得方程有唯一解
乘法的逆运算是除法，使得方程有唯一解
单位元
例3、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.
思维：直角三角形中，，3条边的长度，2条直角边和1条斜边；
→3个面两两垂直的四面体中，，4个面的面积和
3个“直角面”和1个“斜面”. → 拓展：三角形到四面体的类比.
例4、（可作为研究性学习材料）
分析探索过程
四、课堂训练
例:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例。
解析：类比猜想 1)圆心 2）半径
推广的命题为：
设圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2① 与 (x-c)2+(y-d)2=r2②（a≠c或b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程。
五、小结
类比推理的几个特点
1）类比是从已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.
2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
3）类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
练习P93 1，2.3，4.5 ; P94 1
1）联想
2）探索性
3）不确定性
指出类比推理的结果不一定可靠
【练习与测试】：
（基础题）
1）已知扇形的弧长为l,半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形的面积公式为_________
2)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
A．①；B．①②； C．①②③； D．③
3)由“ 正三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是
4）定义运算ab= 则对xR，函数f(x)=1x的解析式为__________。
5）三角形的面积公式为S＝（a,h分别表示三角形的边和该边上的高），类比四面体的体积V＝
6）在三角形ABC中，于D，则有，类比此性质，给出空间四面体的一个猜想，并判断该猜想是否正确。
答案：
1）s=
2）C
3）正棱锥的侧棱长相等
4）f(x)=1x＝
5） 四面体的体积V＝（S,h分别表示四面体的底面积和该面上的高）
6）在棱锥S－ABC中，，则
（中等题）
1）a,b为实数，则由或，类比向量运算中可以得出什么结论？
2）若三角形的内切圆半径为r三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积根据类比思想，若四面体的内切球半径为r，四个面的面积分别为，则此四面体的体积V＝_________
3) 在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径_______．
4)六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体. 如图1在平行四边形ABCD中，有AC2+BD2=2(AB2+AD2)，那么在图2所示的平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，有AC12+BD12+CA12+DB12=（ ）.
A．2（AB2+AD2+AA12） B．3（AB2+AD2+AA12）
C．4（AB2+AD2+AA12） D．4（AB2+AD2）
答案：
1） 或
2）V＝
3）
4）C
（难题）
1）若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列。类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则= 时，数列也是等比数列。
2）如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成角分别为，则若把它推广到长方体ABCD—A1B1C1D1中，试写出相应命题形式：
__________________________________________________________________ .
答案：
1）=
2）长方体ABCD—A1B1C1D1中，BD与同一顶点三个侧面所成角分别为，则
【内容分析】：
类比是重要的推理方法，在掌握一定的数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方法。
【教学目标】：
1、知识与技能：
（1）结合数学实例，了解类比推理的含义
（2）能利用类比方法进行简单的推理，
2、过程与方法：
通过课例，加深对类比这种思想方法的认识。
3、情感态度与价值观：
体验并认识类比推理在数学发现中的作用。
【教学重点】：
（1）体会并实践类比推理的探索过程
（2）类比推理的局限
【教学难点】：
引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、问题情景
学生阅读
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯
2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇
3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征;
1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;
2)有大气层,在一年中也有季节变更;
3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
4．利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.
引入课题
通过阅读教材体会类比推理的思维过程
二、概念教学
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比练习：
(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？
(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？
由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材73探究 填表）
小结：平面→空间，圆→球，线→面.
讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.
类比推理――联想――普遍联系
三、例题讲解
例2：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）
类比角度
实数的加法
实数的乘法
运算结果
若则
若则
运算律
逆运算
加法的逆运算是减法，使得方程有唯一解
乘法的逆运算是除法，使得方程有唯一解
单位元
例3、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.
思维：直角三角形中，，3条边的长度，2条直角边和1条斜边；
→3个面两两垂直的四面体中，，4个面的面积和
3个“直角面”和1个“斜面”. → 拓展：三角形到四面体的类比.
例4、（可作为研究性学习材料）
分析探索过程
四、课堂训练
例:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例。
解析：类比猜想 1)圆心 2）半径
推广的命题为：
设圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2① 与 (x-c)2+(y-d)2=r2②（a≠c或b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程。
五、小结
类比推理的几个特点
1）类比是从已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.
2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
3）类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
练习P93 1，2.3，4.5 ; P94 1
1）联想
2）探索性
3）不确定性
指出类比推理的结果不一定可靠
【练习与测试】：
（基础题）
1）已知扇形的弧长为l,半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形的面积公式为_________
2)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
A．①；B．①②； C．①②③； D．③
3)由“ 正三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是
4）定义运算ab= 则对xR，函数f(x)=1x的解析式为__________。
5）三角形的面积公式为S＝（a,h分别表示三角形的边和该边上的高），类比四面体的体积V＝
6）在三角形ABC中，于D，则有，类比此性质，给出空间四面体的一个猜想，并判断该猜想是否正确。
答案：
1）s=
2）C
3）正棱锥的侧棱长相等
4）f(x)=1x＝
5） 四面体的体积V＝（S,h分别表示四面体的底面积和该面上的高）
6）在棱锥S－ABC中，，则
（中等题）
1）a,b为实数，则由或，类比向量运算中可以得出什么结论？
2）若三角形的内切圆半径为r三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积根据类比思想，若四面体的内切球半径为r，四个面的面积分别为，则此四面体的体积V＝_________
3) 在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径_______．
4)六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体. 如图1在平行四边形ABCD中，有AC2+BD2=2(AB2+AD2)，那么在图2所示的平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，有AC12+BD12+CA12+DB12=（ ）.
A．2（AB2+AD2+AA12） B．3（AB2+AD2+AA12）
C．4（AB2+AD2+AA12） D．4（AB2+AD2）
答案：
1） 或
2）V＝
3）
4）C
（难题）
1）若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列。类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则= 时，数列也是等比数列。
2）如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成角分别为，则若把它推广到长方体ABCD—A1B1C1D1中，试写出相应命题形式：
__________________________________________________________________ .
答案：
1）=
2）长方体ABCD—A1B1C1D1中，BD与同一顶点三个侧面所成角分别为，则
