本文由 808182 收集发布,转载请注明出处,如有问题请联系我们!高中数学必修四课时训练 三角函数的图象与性质 1.4.2(一) Word版含答案
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
课时目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求f(x)=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期.3.掌握y=sinx,y=cosx的周期性及奇偶性.
1.函数的周期性
(1)对于函数f(x),如果存在一个______________,使得当x取定义域内的____________时,都有____________,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的__________________.
2.正弦函数、余弦函数的周期性
由sin(x+2kπ)=________,cos(x+2kπ)=________知y=sinx与y=cosx都是______函数,____________________都是它们的周期,且它们的最小正周期都是________.
3.正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数y=sinx与余弦函数y=cosx的定义域都是______,定义域关于________对称.
(2)由sin(-x)=________知正弦函数y=sinx是R上的______函数,它的图象关于______对称.
(3)由cos(-x)=________知余弦函数y=cosx是R上的______函数,它的图象关于______对称.
一、选择题
1.函数f(x)=sin(-),x∈R的最小正周期为( )
A.B.πC.2πD.4π
2.函数f(x)=sin(ωx+)的最小正周期为,其中ω>0,则ω等于( )
A.5B.10C.15D.20
3.设函数f(x)=sin,x∈R,则f(x)是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
4.下列函数中,不是周期函数的是( )
A.y=|cosx|B.y=cos|x|
C.y=|sinx|D.y=sin|x|
5.定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈时,f(x)=sinx,则f的值为( )
A.-B.C.-D.
6.函数y=cos(sinx)的最小正周期是( )
A.B.πC.2πD.4π
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7.函数f(x)=sin(2πx+)的最小正周期是________.
8.函数y=sin的最小正周期是,则ω=______.
9.若f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=sinx,则f(x)的解析式是______________.
10.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下命题:
①对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数;
②不存在φ,使f(x)既是奇函数,又是偶函数;
③存在φ,使f(x)是奇函数;
④对任意的φ,f(x)都不是偶函数.
其中的假命题的序号是________.
三、解答题
11.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=coscos(π+x);
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=.
12.已知f(x)是以π为周期的偶函数,且x∈[0,]时,f(x)=1-sinx,求当x∈[π,3π]时f(x)的解析式.
能力提升
13.欲使函数y=Asinωx(A>0,ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值,则ω的最小值是________.
14.判断函数f(x)=ln(sinx+)的奇偶性.
1.求函数的最小正周期的常用方法:
(1)定义法,即观察出周期,再用定义来验证;也可由函数所具有的某些性质推出使f(x+T)=f(x)成立的T.
(2)图象法,即作出y=f(x)的图象,观察图象可求出T.如y=|sinx|.
(3)结论法,一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A、ω、φ为常数,A≠0,ω>0,x∈R)的周期T=.
2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则,即先求定义域,看它是否关于原点对称.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
答案
知识梳理
1.(1)非零常数T 每一个值 f(x+T)=f(x) (2)最小正周期
2.sinx cosx 周期 2kπ (k∈Z且k≠0) 2π
3.(1)R 原点 (2)-sinx 奇 原点 (3)cosx 偶 y轴
作业设计
1.D 2.B
3.B [∵sin=-sin=-cos2x,
∴f(x)=-cos2x.
又f(-x)=-cos(-2x)=-cos2x=f(x),
∴f(x)的最小正周期为π的偶函数.]
4.D [画出y=sin|x|的图象,易知.]
5.D [f=f=-f=-sin=sin=.]
6.B [cos[sin(x+π)]=cos(-sin x)=cos(sin x).
∴T=π.]
7.1
8.±3
解析 =,∴|ω|=3,∴ω=±3.
9.f(x)=sin|x|
解析 当x<0时,-x>0,
f(-x)=sin(-x)=-sinx,
∵f(-x)=f(x),∴x<0时,f(x)=-sinx.
∴f(x)=sin|x|,x∈R.
10.①④
解析 易知②③成立,令φ=,f(x)=cosx是偶函数,①④都不成立.
11.解 (1)x∈R,f(x)=coscos(π+x)=-sin2x·(-cosx)=sin2xcosx.
∴f(-x)=sin(-2x)cos(-x)=-sin2xcosx=-f(x).
∴y=f(x)是奇函数.
(2)对任意x∈R,-1≤sinx≤1,
∴1+sinx≥0,1-sinx≥0.
∴f(x)=+定义域为R.
∵f(-x)=+=+=f(x),
∴y=f(x)是偶函数.
(3)∵esinx-e-sinx≠0,∴sinx≠0,
∴x∈R且x≠kπ,k∈Z.
∴定义域关于原点对称.
又∵f(-x)===-f(x),
∴该函数是奇函数.
12.解 x∈[π,3π]时,3π-x∈[0,],
∵x∈[0,]时,f(x)=1-sinx,
∴f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sinx.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数,
∴f(3π-x)=f(-x)=f(x),
∴f(x)的解析式为f(x)=1-sinx,x∈[π,3π].
13.π
解析 要使y在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值,
则y在[0,1]上至少含49个周期,
即,解得ω≥π.
14.解 ∵sinx+≥sinx+1≥0,
若两处等号同时取到,则sinx=0且sinx=-1矛盾,
∴对x∈R都有sinx+>0.
∵f(-x)=ln(-sinx+)
=ln(-sinx)
=ln(+sinx)-1
=-ln(sinx+)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
课时目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求f(x)=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期.3.掌握y=sinx,y=cosx的周期性及奇偶性.
1.函数的周期性
(1)对于函数f(x),如果存在一个______________,使得当x取定义域内的____________时,都有____________,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的__________________.
2.正弦函数、余弦函数的周期性
由sin(x+2kπ)=________,cos(x+2kπ)=________知y=sinx与y=cosx都是______函数,____________________都是它们的周期,且它们的最小正周期都是________.
3.正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数y=sinx与余弦函数y=cosx的定义域都是______,定义域关于________对称.
(2)由sin(-x)=________知正弦函数y=sinx是R上的______函数,它的图象关于______对称.
(3)由cos(-x)=________知余弦函数y=cosx是R上的______函数,它的图象关于______对称.
一、选择题
1.函数f(x)=sin(-),x∈R的最小正周期为( )
A.B.πC.2πD.4π
2.函数f(x)=sin(ωx+)的最小正周期为,其中ω>0,则ω等于( )
A.5B.10C.15D.20
3.设函数f(x)=sin,x∈R,则f(x)是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
4.下列函数中,不是周期函数的是( )
A.y=|cosx|B.y=cos|x|
C.y=|sinx|D.y=sin|x|
5.定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈时,f(x)=sinx,则f的值为( )
A.-B.C.-D.
6.函数y=cos(sinx)的最小正周期是( )
A.B.πC.2πD.4π
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7.函数f(x)=sin(2πx+)的最小正周期是________.
8.函数y=sin的最小正周期是,则ω=______.
9.若f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=sinx,则f(x)的解析式是______________.
10.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下命题:
①对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数;
②不存在φ,使f(x)既是奇函数,又是偶函数;
③存在φ,使f(x)是奇函数;
④对任意的φ,f(x)都不是偶函数.
其中的假命题的序号是________.
三、解答题
11.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=coscos(π+x);
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=.
12.已知f(x)是以π为周期的偶函数,且x∈[0,]时,f(x)=1-sinx,求当x∈[π,3π]时f(x)的解析式.
能力提升
13.欲使函数y=Asinωx(A>0,ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值,则ω的最小值是________.
14.判断函数f(x)=ln(sinx+)的奇偶性.
1.求函数的最小正周期的常用方法:
(1)定义法,即观察出周期,再用定义来验证;也可由函数所具有的某些性质推出使f(x+T)=f(x)成立的T.
(2)图象法,即作出y=f(x)的图象,观察图象可求出T.如y=|sinx|.
(3)结论法,一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A、ω、φ为常数,A≠0,ω>0,x∈R)的周期T=.
2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则,即先求定义域,看它是否关于原点对称.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
答案
知识梳理
1.(1)非零常数T 每一个值 f(x+T)=f(x) (2)最小正周期
2.sinx cosx 周期 2kπ (k∈Z且k≠0) 2π
3.(1)R 原点 (2)-sinx 奇 原点 (3)cosx 偶 y轴
作业设计
1.D 2.B
3.B [∵sin=-sin=-cos2x,
∴f(x)=-cos2x.
又f(-x)=-cos(-2x)=-cos2x=f(x),
∴f(x)的最小正周期为π的偶函数.]
4.D [画出y=sin|x|的图象,易知.]
5.D [f=f=-f=-sin=sin=.]
6.B [cos[sin(x+π)]=cos(-sin x)=cos(sin x).
∴T=π.]
7.1
8.±3
解析 =,∴|ω|=3,∴ω=±3.
9.f(x)=sin|x|
解析 当x<0时,-x>0,
f(-x)=sin(-x)=-sinx,
∵f(-x)=f(x),∴x<0时,f(x)=-sinx.
∴f(x)=sin|x|,x∈R.
10.①④
解析 易知②③成立,令φ=,f(x)=cosx是偶函数,①④都不成立.
11.解 (1)x∈R,f(x)=coscos(π+x)=-sin2x·(-cosx)=sin2xcosx.
∴f(-x)=sin(-2x)cos(-x)=-sin2xcosx=-f(x).
∴y=f(x)是奇函数.
(2)对任意x∈R,-1≤sinx≤1,
∴1+sinx≥0,1-sinx≥0.
∴f(x)=+定义域为R.
∵f(-x)=+=+=f(x),
∴y=f(x)是偶函数.
(3)∵esinx-e-sinx≠0,∴sinx≠0,
∴x∈R且x≠kπ,k∈Z.
∴定义域关于原点对称.
又∵f(-x)===-f(x),
∴该函数是奇函数.
12.解 x∈[π,3π]时,3π-x∈[0,],
∵x∈[0,]时,f(x)=1-sinx,
∴f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sinx.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数,
∴f(3π-x)=f(-x)=f(x),
∴f(x)的解析式为f(x)=1-sinx,x∈[π,3π].
13.π
解析 要使y在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值,
则y在[0,1]上至少含49个周期,
即,解得ω≥π.
14.解 ∵sinx+≥sinx+1≥0,
若两处等号同时取到,则sinx=0且sinx=-1矛盾,
∴对x∈R都有sinx+>0.
∵f(-x)=ln(-sinx+)
=ln(-sinx)
=ln(+sinx)-1
=-ln(sinx+)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
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