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章末综合测评(一) 计数原理
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·银川一中检测)C＋C等于(　　)
A．45　　　　　　　　 B．55
C．65 D．以上都不对
【解析】　C＋C＝C＋C＝55，故选B.
【答案】　B
2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有(　　)
A．10种 B．20种
C．25种 D．32种
【解析】　5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种，故选D.
【答案】　D
3．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为(　　)
A．140 B．240
C．360 D．800
【解析】　由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C·24，常数项为25.因此原式中x的系数为C·25＋C·24＝240.
【答案】　B
4．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有(　　)
A．16种 B．36种
C．42种 D．60种
【解析】　分两类．第一类：同一城市只有一个项目的有A＝24种；第二类：一个城市2个项目，另一个城市1个项目，有C·C·A＝36种，则共有36＋24＝60种．
【答案】　D
5．(2016·广州高二检测)5人站成一排，甲乙之间恰有一个人的站法有(　　)
A．18种 B．24种
C．36种 D．48种
【解析】　首先把除甲乙之外的三人中随机抽出一人放在甲乙之间，有3种可能，甲乙之间的人选出后，甲乙的位置可以互换，故甲乙的位置有2种可能，最后，把甲乙及其中间的那个人看作一个整体，与剩下的两个人全排列是A＝6，所以3×2×6＝36(种)，故答案为C.
【答案】　C
6．关于(a－b)10的说法，错误的是(　　)
A．展开式中的二项式系数之和为1 024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
【解析】　由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．
【答案】　C
7.
图1
(2016·潍坊高二检测)如图1，用五种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共(　　)
A．1 240种 B．360种
C．1 920种 D．264种
【解析】　由于A和E或F可以同色，B和D或F可以同色，C和D或E可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有CCA种；当五种颜色选择四种时，选法有CC×3×A种；当五种颜色选择三种时，选法有C×2×A种，所以不同的涂色方法共CCA＋CC×3×A＋C×2×A＝1 920.故选C.
【答案】　C
8．某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机，从中选购5台，且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有(　　) 【导学号：97270029】
A．1 050种 B．700种
C．350种 D．200种
【解析】　分两类：(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台；
(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台．
所以不同的选购方法有CC＋CC＝350种．
【答案】　C
9．设(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为(　　)
A．29　　　 B．49 C．39　　　 D．59
【解析】　由于a0，a2，a4，a6，a8为正，a1，a3，a5，a7，a9为负，故令x＝－1，得(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝|a0|＋|a1|＋…＋|a9|，故选B.
【答案】　B
10．(2016·山西大学附中月考)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　)
A．60 B．48
C．36 D．24
【解析】　在长方体中，对每一条棱都有两个面(侧面或底面)和一个对角面(对不在同一个面上的一对互相平行的棱的截面)与它平行，可构成3×12＝36个“平行线面组”，对每一条面对角线，都有一个面与它平行，可组成12个“平行线面组”，所以“平行线面组”的个数为36＋12＝48，故选B.
【答案】　B
11．(2016·吉林一中高二期末)某同学忘记了自己的QQ号的后六位，但记得QQ号后六位是由一个1，一个2，两个5和两个8组成的，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为(　　)
A．96 B．180
C．360 D．720
【解析】　由这6个数字组成的六位数个数为＝180，即最多尝试次数为180.故选B.
【答案】　B
12．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大项是(　　)
A．15x3 B．20x3
C．21x3 D．35x3
【解析】　令x＝0，得a0＝1，
再令x＝1，得2n＝64，所以n＝6，
故展开式中系数最大项是
T4＝Cx3＝20x3.故选B.
【答案】　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．
【解析】　由题意得C·C＝20，解得x＝5.
【答案】　5
14．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________．
【解析】　(1.05)6＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.
【答案】　1.34
15．(2015·山东高考)观察下列各式：
C＝40；
C＋C＝41；
C＋C＋C＝42；
C＋C＋C＋C＝43；
……
照此规律，当n∈N*时，
C＋C＋C＋…＋C＝________.
【解析】　观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C＋C＋C＋…＋C＝4n－1.
【答案】　4n－1
16．(2014·安徽高考)设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图2所示，则a＝________.
图2
【解析】　由题意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．
故a0＝1，a1＝3，a2＝4.
由n的展开式的通项公式知Tr＋1＝Cr(r＝0,1,2，…，n)．故＝3，＝4，解得a＝3.
【答案】　3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知试求x，n的值. 【导学号：97270030】
【解】　∵C＝C＝C，∴n－x＝2x或x＝2x(舍去)，∴n＝3x.
由C＝C，得
＝·，
整理得
3(x－1)！(n－x＋1)！＝11(x＋1)！(n－x－1)！，
3(n－x＋1)(n－x)＝11(x＋1)x.
将n＝3x代入，整理得6(2x＋1)＝11(x＋1)，
∴x＝5，n＝3x＝15.
18．(本小题满分12分)利用二项式定理证明：49n＋16n－1(n∈N*)能被16整除．
【证明】　49n＋16n－1＝(48＋1)n＋16n－1
＝C·48n＋C·48n－1＋…＋C·48＋C＋16n－1
＝16(C·3×48n－1＋C·3×48n－2＋…＋C·3＋n)．
所以49n＋16n－1能被16整除．
19．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，
(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
【解】　(1)将取出4个球分成三类情况：
①取4个红球，没有白球，有C种；
②取3个红球1个白球，有CC种；
③取2个红球2个白球，有CC种，
故有C＋CC＋CC＝115种．
(2)设取x个红球，y个白球，
则故或或
因此，符合题意的取法共有CC＋CC＋CC＝186种．
20．(本小题满分12分)设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；
(2)a6.
【解】　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1.
(2)a6即为含x6项的系数，Tr＋1＝C(2x)10－r·(－1)r＝C(－1)r210－r·x10－r，所以当r＝4时，T5＝C(－1)426x6＝13 440x6，即a6＝13 440.
21．(本小题满分12分)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(2)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；
(3)全体站成一排，女生必须站在一起；
(4)全体站成一排，男生互不相邻．
【解】　(1)共有A＝5 040种方法．
(2)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3 600种方法．
(3)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，有A种方法，故共有A×A＝576种方法．
(4)(插空法)男生不相邻，而女生不做要求，所以应先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A种方法，故共有A×A＝1 440种方法．
22．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？
(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？
【解】　由1(1)从A∪B中取出3个不同的元素，可以组成A＝120个三位数．
(2)若从集合A中取元素3，则3不能作千位上的数字，
有C·C·A＝180个满足题意的自然数；
若不从集合A中取元素3，则有CCA＝384个满足题意的自然数．
所以，满足题意的自然数的个数共有180＋384＝564.