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课时达标检测（二十九）简单的三角恒等变换
一、选择题
1．cos2－的值为(　　)
A．1　　　　　　　　B.
C. D.
答案：D
2．已知sin＝，则sin 2x的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
3．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝，c＝，则有(　　)
A．a>b>c B．aC．a答案：C
4．化简2＋2sin2得(　　)
A．2＋sin α B．2＋sin
C．2 D．2＋sin
答案：C
5．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
答案：A
二、填空题
6．若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ＝________.
答案：0或±
7．等腰三角形的顶角的正弦值为，则它的底角的余弦值为________．
答案：或
8．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A等于________．
答案：－
三、解答题
9．若π<α<，化简＋ .
解：∵π<α<，∴<<，
∴cos<0，sin>0.
∴原式
＝＋
＝＋
＝－＋
＝－cos.
10．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP面积最大？
解：如图所示，
∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，AB＝1，
PA＝cos α，PB＝sin α.
又PT切圆于P点，∠TPB＝∠PAB＝α，
∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝PA·PB＋PT·PB·sin α
＝sin αcos α＋sin2α
＝sin 2α＋(1－cos 2α)
＝(sin 2α－cos 2α)＋
＝sin(2α－)＋.
∵0<α<，－<2α－<π，
∴当2α－＝，即α＝π时，S四边形ABTP最大．
11．设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域．
解：(1)因为
f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ
＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ
＝2sin＋λ.
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，
可得sin＝±1.
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，
即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点，
得f＝0，
即λ＝－2sin＝－2sin＝－，
即λ＝－.
故f(x)＝2sin－，
函数f(x)的值域为[－2－，2－ ]．