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单元质量评估(二)
(第二章)
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.(2016·蚌埠高二检测)已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与平面α的位置关系是　(　　)
A.b⊂平面α
B.b⊥平面α
C.b∥平面α
D.b与平面α相交，或b∥平面α
【解析】选D.直线a显然不可能在平面α内，平行与相交都有可能，故选D.
2.下列叙述中，正确的是　(　　)
A.四边形是平面图形
B.有三个公共点的两个平面重合
C.两两相交的三条直线必在同一个平面内
D.三角形必是平面图形
【解析】选D.A中四边形可以是空间四边形；B中两个相交平面的交线上有无数个公共点；C中若三条直线有一个公共点，可得三条直线不一定在一个平面内，故A，B，C不正确，D正确.
3.(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则　(　　)
A.m∥l　　    　B.m∥n　　　    C.n⊥l　　　    D.m⊥n
【解题指南】根据线、面垂直的定义判断.
【解析】选C.由题意知,α∩β=l,所以l⊂β,因为n⊥β,
所以n⊥l.
4.(2016·银川高一检测)空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为　(　　)
A.30°            B.45°        C.60°            D.90°
【解析】选D.取AC中点E，连接BE，DE，因为AB=AD=AC=CB=CD=BD，所以AC垂直于BE，也垂直于DE，所以AC垂直于平面BDE，因此AC垂直于BD.
5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论不正确的是　(　　)

A.C1D1⊥B1C                B.BD1⊥AC
C.BD1∥B1C                D.∠ACB1=60°
【解析】选C.因为C1D1⊥平面B1C，B1C⊂平面B1C，
所以C1D1⊥B1C，
所以A选项正确；
由于AC⊥平面BDD1，
所以BD1⊥AC，B选项正确；
因为三角形AB1C为等边三角形，
所以∠ACB1=60°，即D选项正确.
由于BD1与B1C是异面直线，所以C错.
6.(2016·鞍山高一检测)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是　(　　)
A.若l⊥α，α⊥β，则l⊂β
B.若l∥α，α∥β，则l⊂β
C.若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D.若l∥α，α⊥β，则l⊥β
【解析】选C.若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A不正确；若l∥α，
α∥β，则l⊂β或l∥β，故B不正确；若l⊥α，α∥β，则l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β或l∥β，故D不正确.
7.(2016·衡水高二检测)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：
①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1⊥平面CBA1，其中正确结论的个数为　(　　)

A.0            B.1                C.2                D.3
【解析】选D.①因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所以平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，因为BC=AC，所以B1C1=A1C1，又因为M为A1B1的中点，所以C1M⊥A1B1，因为平面A1B1C1∩平面ABB1A1=A1B1，所以C1M⊥平面ABB1A1，故①正确；②由①知，C1M⊥A1B，又因为AC1⊥A1B，C1M∩AC1=C1，所以A1B⊥平面AMC1，所以A1B⊥AM，因为M，N分别是A1B1，AB的中点，所以ANB1M是平行四边形，所以AM∥NB1，因为A1B⊥AM，所以A1B⊥NB1，故②正确；③由②知A1B⊥平面AMC1，又因为A1B⊂平面CBA1，所以平面AMC1⊥平面CBA1，故③正确，综上所述，正确结论的个数为3.
8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是(　　)

A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值
D.△AEF的面积与△BEF的面积相等
【解析】选D.A.由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确，不符合题意；
B.EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，
故有EF∥平面ABCD，此命题正确，不符合题意；
C.三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B的距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确，不符合题意；
D.由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故D是错误的.
9.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是　(　　)

A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
【解析】选D.由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；连接AC，易证BD⊥面ACC1，所以AC1⊥BD；同理可证AC1⊥B1C，因为BD∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，所以AC1⊥平面CB1D1；对于选项D，因为BC∥AD，所以∠B1CB即为AD与CB1所成的角，此角为45°，故D错.
10.在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值为　(　　)
A.                B.                C.            D.
【解析】选C.因为AC=，其余各棱长均为1，故AB⊥BC，AD⊥DC，取CD，AC的中点分别为E，F，连接EF，BF，BE，则EF∥AD，所以EF⊥CD.且EF=AD=，BF=AC=，BE⊥CD，且BE=，所以∠FEB为二面角A-CD-B的平面角，在△BEF中，BE2=BF2+EF2，所以△BEF为直角三角形，所以cos∠FEB===.

11.(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为　(　　)
A.            B.            C.            D.
【解析】选A.如图所示:

因为α∥平面CB1D1,所以若设平面CB1D1∩平面ABCD=m1,则m1∥m.
又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
结合平面B1D1C∩平面A1B1C1D1=B1D1,
所以B1D1∥m1,故B1D1∥m.同理可得:CD1∥n.
故m,n所成角的大小与B1D1,CD1所成角的大小相等,即∠CD1B1的大小.而B1C=B1D1=CD1(均为面对角线),因此∠CD1B1=,即sin∠CD1B1=.
12.一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图，M，N分别为A1B，B1C1的中点.

下列结论中正确的个数有　(　　)
①直线MN与A1C相交.
②MN⊥BC.
③MN∥平面ACC1A1.
④三棱锥N-A1BC的体积为=a3.
A.4个    B.3个    C.2个    D.1个
【解析】选B.由三视图可知，

该几何体是底面为等腰直角三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱.取边BC中点E，连ME，NE，则ME∥A1C，NE∥C1C，故平面MNE∥平面ACC1A1，故MN∥平面ACC1A1，所以直线MN与A1C相交错误，故③正确，①错误.因为三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形且侧棱垂直于底面，故BC⊥平面MNE，所以MN⊥BC，②正确.==×a××a×a=a3，故④正确.所以②③④正确.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点.给出以下四个结论：

①直线AM与直线C1C相交；
②直线AM与直线DD1异面；
③直线AM与直线BN平行；
④直线BN与直线MB1异面.
其中正确结论的序号为________(填入所有正确结论的序号).
【解析】由异面直线判定定理知：①直线AM与直线CC1异面；②直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面，因为直线BN与直线AE平行(E为DD1的中点)，所以③直线AM与直线BN异面.
答案：②④
14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________.

【解析】由题意知：PA⊥DE，
又PE⊥DE，PA∩PE=P，
所以DE⊥面PAE，
所以DE⊥AE.
易证△ABE∽△ECD.
设BE=x，
则=，
即=.
所以x2-ax+9=0，由Δ>0，
解得a>6.
答案：a>6
15.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，点M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的即可).

【解题指南】可以证明BD⊥PC，因此只需确定M的位置，使BM⊥PC即可.
(DM⊥PC也可).
【解析】因为四边形ABCD的边长相等，所以四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.
若PC⊥平面BMD，即PC垂直于平面BMD中两条相交直线，所以当BM⊥PC时，PC⊥平面BMD，所以平面PCD⊥平面BMD.
答案：BM⊥PC(其他合理即可)
16.(2016·成都高二检测)如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将△ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：
①AB与DE所成角的正切值是；②AB∥CE；③VB-ACE的体积是a2；
④平面ABC⊥平面ADC；⑤直线EA与平面ADB所成角为30°.
其中正确的有________.(填写你认为正确的序号)

【解析】由题意，AB=BC，AE=a，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=a，①由于BC∥DE，所以∠ABC(或其补角)为AB与DE所成角.因为AB=a，BC=a，AC=a，所以BC⊥AC，所以tan∠ABC=，故①正确；②由图象可知AB与CE是异面直线，故②错误.③VB-ACE的体积是S△BCE×AD=×a3=a3，故③错误；④因为AD⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，所以AD⊥BC，因为BC⊥CD，AD∩CD=D，
所以BC⊥平面ADC，因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故④正确；
⑤连接CE交BD于F，则EF⊥BD，因为平面ABD⊥平面BDE，所以EF⊥平面ABD，连接AF，则∠AFE为直线AE与平面ABD所成角，在△AFE中，EF=a，AE=a，所以sin∠EAF==，则∠EAF=30°，故⑤正确.
答案：①④⑤
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，
AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：
(1)D，B，E，F四点共面.
(2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.
【证明】(1)连接B1D1.因为E，F分别为D1C1，C1B1的中点，所以EF∥B1D1，又因为B1D1∥BD，

所以EF∥BD，所以EF与BD共面，
所以E，F，B，D四点共面.
(2)因为AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.
同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
因为A1C∩平面DBFE=R，
所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
所以P，Q，R三点共线.
18.(12分)(2016·菏泽高一检测)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点.

(1)求证：OE∥平面BCC1B1.
(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.
【解析】(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，
BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.

(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，
A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，
所以AC1⊥BC.
19.(12分)如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=90°，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG.

(1)求证：EC⊥CD.
(2)求证：AG∥平面BDE.
【证明】(1)由平面ABCD⊥平面BCEG，
平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE⊂平面BCEG，
所以EC⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，故EC⊥CD.
(2)在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连接DM，则由已知知，MG=MN，MN∥BC∥DA，且MN=AD=BC，
所以MG∥AD，MG=AD，
故四边形ADMG为平行四边形，
所以AG∥DM，因为DM⊂平面BDE，AG⊄平面BDE，所以AG∥平面BDE.

20.(12分)(2016·泰安高一检测)如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC.

(1)求证：平面AEF⊥平面PBC.
(2)求二面角P-BC-A的大小.
【解题指南】(1)要证平面AEF⊥平面PBC，可通过证明AE⊥平面PBC得出，而要证AE⊥平面PBC，已有AE⊥PB，则证出BC⊥AE即可，后者利用BC⊥平面PAB可以证出.
(2)由(1)知，BC⊥平面PAB，∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，易知为45°.
【解析】(1)因为PA⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，
又AB⊥BC，AB与PA相交于点A，
所以BC⊥平面PAB，又AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE，又AE⊥PB，而PB与BC相交于点B，所以AE⊥平面PBC，又AE⊂平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC.
(2)由(1)知，BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，
所以PB⊥BC，又AB⊥BC，
所以∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，
在Rt△PAB中，因为PA=AB，所以∠PBA=45°，
即二面角P-BC-A的大小为45°.
21.(12分)(2016·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面PAC.
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC.
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.

【解析】(1)因为PC⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC,所以DC⊥平面PAC.
(2)因为AB∥DC,DC⊥平面PAC,所以AB⊥平面PAC.
又因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)取PB中点F.连接CE,EF,CF.
因为E为AB中点,所以PA∥EF.
又因为PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF,所以PA∥平面CEF.
因此,当F为PB中点时,PA∥平面CEF.

22.(12分)如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=
∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.

(1)在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论.
(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值.
【解析】(1)线段BC的中点就是满足条件的点P.
证明如下：
取AB的中点F，连接DP，PF，EF，
则FP∥AC，FP=AC，    
取AC的中点M，连接EM，EC，
因为AE=AC且∠EAC=60°，
所以△EAC是正三角形，所以EM⊥AC.
所以四边形EMCD为矩形，
所以ED=MC=AC.
又因为ED∥AC，
所以ED∥FP且ED=FP，
所以四边形EFPD是平行四边形，所以DP∥EF，
而EF⊂平面EAB，DP⊄平面EAB，
所以DP∥平面EAB.
(2)过C作CG∥AB，过B作BG∥AC，CG∩BG=G，连接GD.

因为ED∥AC，所以ED∥BG，
所以B，E，D，G四点共面，
所以平面EBD与平面ABC相交于BG，
因为CD⊥AC，平面ACDE⊥平面ABGC，
所以CD⊥平面ABGC，
又因为BG⊂平面ABGC，
所以BG⊥CD，
又BG⊥GC，CD∩GC=C，
所以BG⊥平面CDG，
所以BG⊥DG，
所以∠DGC是平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ，设AB=AC=AE=a，
则GC=AB=a，DC=EM=a，
所以GD==a，
所以cosθ=cos∠DGC==..Com]
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