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首页 高二 高中数学选修2-2课时作业:第一章 导数及其应用1.4生活中的优化问题举例7 Word版含解析

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  • 资源类别:高二试卷
  • 所属教版:高二下册数学人教版
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  • 整理时间:2021-01-01
  • 【创新设计】2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例课时作业 新人教版选修2-2
    明目标、知重点
    1.了解导数在解决实际问题中的作用.
    2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
    1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.
    2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.
    3.解决优化问题的基本思路是:
       →
                 
       ←
    上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.
    情境导学]
    生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题?这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具,本节我们运用导数,解决一些生活中的优化问题.
    探究点一 面积、体积的最值问题
    思考 如何利用导数解决生活中的优化问题?
    答 (1)函数建模,细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系式y=f(x).
    (2)确定定义域,一定要从问题的实际意义去考察,舍去没有实际意义的变量的范围.
    (3)求最值,此处尽量使用导数法求出函数的最值.
    (4)下结论,回扣题目,给出圆满的答案.
    例1 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128 dm2,上、下两边各空2 dm,左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?
    解 设版心的高为x dm,则版心的宽为 dm,此时四周空白面积为
    S(x)=(x+4)-128
    =2x++8,x>0.
    求导数,得
    S′(x)=2-.
    令S′(x)=2-=0,解得x=16(x=-16舍去).
    于是宽为==8.
    当x∈(0,16)时,S′(x)<0;
    当x∈(16,+∞)时,S′(x)>0.
    因此,x=16是函数S(x)的极小值点,也是最小值点.
    所以,当版心高为16 dm,宽为8 dm时,能使海报四周空白面积最小.
    反思与感悟 (1)在求最值时,往往建立函数关系式,若问题中给出的量较多时,一定要通过建立各个量之间的关系,通过消元法达到建立函数关系式的目的.
    (2)在列函数关系式时,要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.
    跟踪训练1 如图所示,某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为________米.
    答案 32,16
    解析 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短,设场地宽为x米,则长为米,
    因此新墙壁总长度L=2x+(x>0),则L′=2-.
    令L′=0,得x=±16.
    ∵x>0,∴x=16.
    当x=16时,Lmin=64,此时堆料场的长为=32(米).
    探究点二 利润最大问题
    例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?
    解 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是
    y=f(r)=0.2×πr3-0.8πr2
    =0.8π,0令f′(r)=0.8π(r2-2r)=0.
    当r=2时,f′(r)=0.
    当r∈(0,2)时,f′(r)<0;
    当r∈(2,6)时,f′(r)>0.
    因此,当半径r>2时,f′(r)>0,它表示f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;半径r<2时,f′(r)<0,它表示f(r)单调递减,即半径越大,利润越低.
    ∴半径为2 cm时,利润最小,这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.
    半径为6 cm时,利润最大.
    反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立利润的函数关系,常见的基本等量关系有:
    (1)利润=收入-成本;
    (2)利润=每件产品的利润×销售件数.
    跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3(1)求a的值;
    (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
    解 (1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,
    所以a=2.
    (2)由(1)可知,该商品每日的销售量
    y=+10(x-6)2,
    所以商场每日销售该商品所获得的利润
    f(x)=(x-3)+10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2,3从而,f′(x)=10(x-6)2+2(x-3)(x-6)]
    =30(x-4)(x-6).
    于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
    x
    (3,4)
    4
    (4,6)
    f′(x)

    0

    f(x)
    单调递增
    极大值42
    单调递减
    由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.
    所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.
    答 当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
    探究点三 费用(用材)最省问题
    例3 已知A、B两地相距200 km,一只船从A地逆水行驶到B地,水速为8 km/h,船在静水中的速度为v km/h(8解 设每小时的燃料费为y1,比例系数为k(k>0),
    则y1=kv2,当v=12时,y1=720,
    ∴720=k·122,得k=5.
    设全程燃料费为y,由题意,得
    y=y1·=,
    ∴y′=
    =.
    令y′=0,得v=16,∴当v0≥16,
    即v=16 km/h时全程燃料费最省,ymin=32 000(元);
    当v0<16,即v∈(8,v0]时,y′<0,
    即y在(8,v0]上为减函数,
    ∴当v=v0时,ymin=(元).
    综上,当v0≥16时,v=16 km/h全程燃料费最省,
    为32 000元;
    当v0<16,即v=v0时全程燃料费最省,为元.
    反思与感悟 本题在解题过程中容易忽视定义域,误以为v=16时取得最小值.本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内.
    跟踪训练3 现有一批货物由海上从A地运往B地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,A地至B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.
    (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数;
    (2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?
    解 (1)依题意得y=(960+0.6x2)=+300x,且由题意知,函数的定义域为(0,35],
    即y=+300x(0(2)由(1)知,y′=-+300,令y′=0,
    解得x=40或x=-40(舍去).
    因为函数的定义域为(0,35],所以函数在定义域内没有极值点.
    又当0所以y=+300x在(0,35]上单调递减,
    故当x=35时,函数y=+300x取得最小值.
    故为了使全程运输成本最小,轮船应以35海里/时的速度行驶.
    1.方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为(  )
    A.4 B.6 C.4.5 D.8
    答案 A
    解析 设底面边长为x,高为h,
    则V(x)=x2·h=256,∴h=,
    ∴S(x)=x2+4xh=x2+4x·=x2+,
    ∴S′(x)=2x-.
    令S′(x)=0,解得x=8,∴h==4.
    2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0).已知贷款的利率为0.048 6,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x,x∈(0,0.048 6),若使银行获得最大收益,则x的取值为(  )
    A.0.016 2 B.0.032 4
    C.0.024 3 D.0.048 6
    答案 B
    解析 依题意,得存款量是kx2,银行支付的利息是kx3,获得的贷款利息是0.048 6kx2,其中x∈(0,0.048 6).
    所以银行的收益是y=0.048 6kx2-kx3(0令y′=0,得x=0.032 4或x=0(舍去).
    当00;
    当0.032 4所以当x=0.032 4时,y取得最大值,即当存款利率为0.032 4时,银行获得最大收益.
    3.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8(0解 当速度为x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,
    依题意得h(x)=×
    =x2+-(0h′(x)=-=(0令h′(x)=0,得x=80.
    因为x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;
    x∈(80,120]时,h′(x)>0,h(x)是增函数,
    所以当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25(升).
    因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值,所以它是最小值.
    答 汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
    呈重点、现规律]
    正确理解题意,建立数学模型,利用导数求解是解应用题的主要思路.另外需要特别注意:(1)合理选择变量,正确给出函数表达式;(2)与实际问题相联系;(3)必要时注意分类讨论思想的应用.
    一、基础过关
    1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是(  )
    A.8 B. C.-1 D.-8
    答案 C
    解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),
    所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.
    2.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时底面边长为(  )
    A. B. C. D.2
    答案 C
    解析 设底面边长为x,
    则表面积S=x2+V(x>0).
    ∴S′=(x3-4V).
    令S′=0,得x=.
    3.如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为(  )
    A.3π B.3π
    C.3π D.3π
    答案 A
    解析 设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,
    则4r+2h=l,
    ∴h=,
    V=πr2h=πr2-2πr3.
    则V′=lπr-6πr2,
    令V′=0,得r=0或r=,而r>0,
    ∴r=是其唯一的极值点.
    ∴当r=时,V取得最大值,最大值为3π.
    4.用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接成水箱,则水箱最大容积为(  )
    A.120 000 cm3 B.128 000 cm3
    C.150 000 cm3 D.158 000 cm3
    答案 B
    解析 设水箱底边长为x cm,则水箱高h=60-(cm).
    水箱容积V=V(x)=x2h=60x2- (cm3)(0V′(x)=120x-x2.
    令V′(x)=0,得x=0(舍去)或x=80.
    可判断得x=80 (cm)时,V取最大值为128 000 cm3.
    5.某公司生产一种产品, 固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是R(x)=则当总利润最大时,每年生产产品的单位数是(  )
    A.150 B.200 C.250 D.300
    答案 D
    解析 由题意得,总利润
    P(x)=
    令P′(x)=0,得x=300,故选D.
    二、能力提升
    6.为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长为a米,高为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米,问当a=________,b=________时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计).
    答案 6 3
    解析 设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=,其中k(k>0)为比例系数.
    依题意,即所求的a,b值使y值最小,根据题设,4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)得b=(0于是y===.
    令y′==0,
    得a=6或a=-10(舍去).
    ∵本题只有一个极值点,∴此极值点即为最值点.
    当a=6时,b=3,即当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
    7.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自摆成一个正三角形,那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(  )
    A. cm2 B.4 cm2
    C.3 cm2 D.2 cm2
    答案 D
    解析 设一个正三角形的边长为x cm,则另一个正三角形的边长为(4-x)cm,则这两个正三角形的面积之和为S=x2+(4-x)2=(x-2)2+4]≥2(cm2),故选D.
    8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为________.
    答案 3
    解析 设圆柱的底面半径为R,母线长为L,则V=πR2L=27π,∴L=,要使用料最省,只须使圆柱表面积最小,由题意,S表=πR2+2πRL=πR2+2π·,
    ∴S′(R)=2πR-=0,∴R=3,
    则当R=3时,S表最小.
    9.如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?
    解 设广告的高和宽分别为x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为x-20,,其中x>20,y>25.
    两栏面积之和为2(x-20)·=18 000,
    由此得y=+25.
    广告的面积S=xy=x(+25)=+25x.
    ∴S′=+25=+25.
    令S′>0得x>140,
    令S′<0得20∴函数在(140,+∞)上单调递增,在(20,140)上单调递减,
    ∴S(x)的最小值为S(140).
    当x=140时,y=175.
    即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500,
    故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,
    可使广告的面积最小.
    10.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.
    (1)试写出y关于x的函数关系式;
    (2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?
    解 (1)设需新建n个桥墩,
    则(n+1)x=m,即n=-1.
    所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x
    =256+(2+)x
    =+m+2m-256.
    (2)由(1)知,f′(x)=-+mx-
    =(x-512).
    令f′(x)=0,得x=512,所以x=64.
    当0当640,f(x)在区间(64,640)内为增函数,所以f(x)在x=64处取得最小值.
    此时n=-1=-1=9.
    故需新建9个桥墩才能使y最小.
    11.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为20 km/h时,每小时消耗的煤价值40元,其他费用每小时需200元,火车的最高速度为100 km/h,火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?
    解 设速度为x km/h,甲、乙两城距离为a km.
    则总费用f(x)=(kx3+200)·=a(kx2+).
    由已知条件,得40=k·203,∴k=,
    ∴f(x)=a(x2+).
    令f′(x)==0,
    得x=10.
    当0当100.
    ∴当x=10时,f(x)有最小值,
    即速度为10 km/h时,总费用最少.
    三、探究与拓展
    12.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.
    (1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;
    (2)求该容器的建造费用最小时的r.
    解 (1)设容器的容积为V,
    由题意知V=πr2l+πr3,又V=,
    故l==-r=(-r).
    由于l≥2r,因此0所以建造费用y=2πrl×3+4πr2c
    =2πr×(-r)×3+4πr2c,
    因此y=4π(c-2)r2+,0(2)由(1)得y′=8π(c-2)r-
    =(r3-),0由于c>3,所以c-2>0.
    当r3-=0时,r= .
    令 =m,则m>0,
    所以y′=(r-m)(r2+rm+m2).
    ①当0时,
    令y′=0,得r=m.
    当r∈(0,m)时,y′<0;
    当r∈(m,2]时,y′>0,
    所以r=m是函数y的极小值点,也是最小值点.
    ②当m≥2,即3当r∈(0,2]时,y′≤0,函数单调递减,
    所以r=2是函数y的最小值点.
    综上所述,当3建造费用最小时r=2;
    当c>时,建造费用最小时r= .
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