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章末综合测评(四)　圆与方程
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(2，－1,6)的距离是(　　)
A．2 B．2
C．9 D.
【解析】　由空间直角坐标系中两点间距离公式得：
|AB|＝＝.
【答案】　D
2．当圆x2＋y2＋2x＋ky＋k2＝0的面积最大时，圆心坐标是(　　)
A．(0，－1) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(－1,1)
【解析】　圆的标准方程得：(x＋1)2＋2＝1－，当半径的平方1－取最大值为1时，圆的面积最大．∴k＝0，即圆心为(－1,0)．
【答案】　B
3．圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是(　　)
A．相交 B．相离
C．内含 D．内切
【解析】　把圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0分别化为标准式为(x－2)2＋(y－3)2＝1和(x－4)2＋(y－3)2＝9，两圆心间的距离d＝＝2＝|r1－r2|，所以两圆的位置关系为内切，故选D.
【答案】　D
4．(2016·葫芦岛高一检测)过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为(　　)
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0
【解析】　依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得＝，即3x－y－5＝0，故选A.
【答案】　A
5．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
【解析】　由题意知点在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝＜1，故直线与圆相交．
【答案】　B
6．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　　)
A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0
【解析】　圆心C(1,0)，kPC＝＝－1，
则kAB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，
即x－y－3＝0，故选D.
【答案】　D
7．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是(　　)
A．(x－2)2＋y2＝1
B．(x＋2)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－2)2＝1
【解析】　设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1，解得a＝2.故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1.
【答案】　A
8．(2016·泰安高一检测)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是(　　)
【导学号：09960151】
A．36 B．18
C．6 D．5
【解析】　圆x2＋y2－4x－4y－10＝0的圆心为(2,2)，半径为3，圆心到直线x＋y－14＝0的距离为＝5＞3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R＝6.
【答案】　C
9．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为(　　)
A．4 B．2
C. D.
【解析】　P为圆上一点，则有kOP·kl＝－1，而kOP＝＝－，
∴kl＝.∴a＝4，∴m：4x－3y＝0，l：4x－3y＋20＝0.∴l与m的距离为＝4.
【答案】　A
10．一个几何体的三视图如图1所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能是(　　)
图1
A．(1,1,1) B．(1,1，)
C．(1,1，) D．(2,2，)
【解析】　由三视图知，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的顶点在底面的射影是底面正方形的中心，高为，则第五个顶点的坐标为(1,1，)．故选C.
【答案】　C
11．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝2，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)
A．(x＋3)2＋(y－3)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2
D．(x－3)2＋(y＋3)2＝2
【解析】　设点(－2,2)关于直线x－y－1＝0的对称点为Q(m，n)，则解得m＝3，n＝－3，所以圆C2的圆心坐标为(3，－3)，所以圆C2的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝2，故选D.
【答案】　D
12．(2016·台州高二检测)已知圆O：x2＋y2－4＝0，圆C：x2＋y2＋2x－15＝0，若圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积的取值范围是(　　)
图2
A．[2，2] B．[2，8]
C．[2，2] D．[2，8]
【解析】　S△OAB＝|AB|·2＝|AB|，
设C到AB的距离为d，
则|AB|＝2，又d∈[1,3]，
7≤42－d2≤15，
所以S△OAB＝|AB|∈[2，2]．
【答案】　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知A(1,2,3)，B(5,6，－7)，则线段AB中点D的坐标为________．
【解析】　设D(x，y，z)，由中点坐标公式可得x＝＝3，y＝＝4，z＝＝－2，所以D(3,4，－2)．
【答案】　(3,4，－2)
14．以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________．
【解析】　原点O到直线的距离d＝＝3，设圆的半径为r，∴r2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x2＋y2＝25.
【答案】　x2＋y2＝25
15．(2015·重庆高考)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
【解析】　∵以原点O为圆心的圆过点P(1,2)，
∴圆的方程为x2＋y2＝5.
∵kOP＝2，∴切线的斜率k＝－.
由点斜式可得切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
【答案】　x＋2y－5＝0
16．若x，y∈R，且x＝，则的取值范围是________．
【解析】　
x＝⇔x2＋y2＝1(x≥0)，此方程表示半圆，如图，设P(x，y)是半圆上的点，则表示过点P(x，y)，Q(－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)．从而由＝1，解得k＝.又kBQ＝3，∴所求范围是.
【答案】　
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程．
【解】　法一：∵圆心在y轴上，
设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.
∵该圆经过A、B两点，
∴∴
所以圆的方程是x2＋(y－1)2＝10.
法二：线段AB的中点为(1,3)，
kAB＝＝－，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，
即y＝2x＋1.
由得(0,1)为所求圆的圆心．
由两点间距离公式得圆半径r为
＝，
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
18．(本小题满分12分)如图3所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标是，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．
图3
【解】　由题意得B(0，－2,0)，C(0,2,0)，设D(0，y，z)，在Rt△BDC中，∠DCB＝30°，
∴|BD|＝2，|CD|＝2，∴z＝，2－y＝3，
∴y＝－1，∴D(0，－1，)．
又∵A，
∴|AD|＝＝.
19．(本小题满分12分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：不论m为何值时，直线和圆恒相交于两点；
(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．
【解】　(1)证明：由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，
得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0.
解得
∴直线l恒过定点A(3,1)．又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25，
∴(3,1)在圆C的内部，故直线l与圆C恒有两个公共点．
(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，有l⊥AC，由kAC＝－，得l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.
20．(本小题满分12分)点A(0,2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．
【解】　设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC.
又∵∠BAC＝90°，∴|MA|＝|BC|＝|MB|.
∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，
∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，
即x2＋(y－1)2＝7.
∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以为半径的圆．
21．(本小题满分12分)如图4所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点，定点A，C的坐标分别是A(－2,3)，C(2,1)．
图4
(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；
(2)若B点的坐标为(－2，－2)，求直线BC截圆E所得的弦长．
【解】　(1)AC的中点E(0,2)即为圆心，
半径r＝|AC|＝＝，
所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5.
(2)直线BC的斜率k＝＝，
其方程为y－1＝(x－2)，即3x－4y－2＝0.
点E到直线BC的距离为d＝＝2，所以BC截圆E所得的弦长为2＝2.
22.(本小题满分12分)如图5，已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0，点A(0,6)．
(1)求圆心在直线y＝x上，经过点A，且与圆C相外切的圆N的方程；
(2)若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的，求直线m的方程． 【导学号：09960152】
图5
【解】　(1)由x2＋y2＋10x＋10y＝0，
化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50.
所以圆C的圆心坐标为C(－5，－5)，
又圆N的圆心在直线y＝x上，
所以当两圆外切时，切点为O，设圆N的圆心坐标为(a，a)，
则有＝，
解得a＝3，
所以圆N的圆心坐标为(3,3)，半径r＝3，
故圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.
(2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的，所以CP⊥CQ.
所以点C到直线m的距离为5.
当直线m的斜率不存在时，点C到y轴的距离为5，直线m即为y轴，所以此时直线m的方程为x＝0.
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y＝kx＋6，
即kx－y＋6＝0.
所以＝5，解得k＝.
所以此时直线m的方程为x－y＋6＝0，
即48x－55y＋330＝0，
故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0.