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课时提升作业(二十四)
函数的最大(小)值与导数
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.函数y=2x3-3x2-12x+5在上的最大值、最小值分别是　(　　)
A.12,-8 B.1,-8
C.12,-15 D.5,-16
【解析】选A.y′=6x2-6x-12,由y′=0⇒x=-1或x=2(舍去).x=-2时y=1,x=-1时y=12,x=1时y=-8.所以ymax=12,ymin=-8.
2.(2015·聊城高二检测)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为　(　　)
A.0≤a<1 B.0C.-1【解析】选B.因为f(x)=x3-3ax-a,
所以f′(x)=3x2-3a,
令f′(x)=0,可得a=x2,
又因为x∈(0,1),所以0【补偿训练】函数f(x)=ex-x在区间上的最大值是　(　　)
A.1+ B.1 C.e+1 D.e-1
【解析】选D.f′(x)=ex-1.令f′(x)=0,得x=0.
当x∈时,f′(x)≤0;
当x∈时,f′(x)≥0.
所以f(x)在上递减,在上递增.
又因为f(-1)=+1,f(1)=e-1,
所以f(-1)-f(1)=2+-e<0,
所以f(-1)3.函数f(x)=2x-cosx在(-∞,+∞)上　(　　)
A.无最值 B.有极值
C.有最大值 D.有最小值
【解析】选A.因为f(x)=2x-cosx,所以f′(x)=2+sinx>0恒成立,所以在(-∞,
+∞)上单调递增,无极值,也无最值.
4.函数f(x)=2+,x∈(0,5]的最小值为　(　　)
A.2 B.3 C. D.2+
【解析】选B.由f′(x)=-==0,得x=1,且x∈(0,1)时,f′(x)<0;x∈(1,5]时,f′(x)>0,所以x=1时f(x)最小,最小值为f(1)=3.
5.(2015·大庆高二检测)若函数y=x3+x2+m在上的最大值为,则m等于
　(　　)
A.0 B.1 C.2 D.
【解题指南】先求出函数y=x3+x2+m在上的最大值,再依据题设条件可得到关于m的方程,解方程即得出m的值.
【解析】选C.y′=′=3x2+3x=3x(x+1).由y′=0,得x=0或x=-1.
因为f(0)=m,f(-1)=m+.
f(1)=m+,f(-2)=-8+6+m=m-2,
所以f(1)=m+最大.
所以m+=.所以m=2.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.函数f(x)=+x(x∈)的值域为________.
【解析】f′(x)=-+1=,所以在上f′(x)>0恒成立,即f(x)在上单调递增,所以f(x)的最大值是f(3)=,最小值是f(1)=.故函数f(x)的值域为.
答案:
7.(2015·盐城高二检测)若函数f(x)=x3-3x-a在区间上的最大值、最小值分别为m,n,则m-n=________.
【解析】因为f′(x)=3x2-3,
所以当x>1或x<-1时,f′(x)>0;
当-1所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.
所以f(x)min=f(1)=1-3-a=-2-a=n.
又因为f(0)=-a,f(3)=18-a,所以f(0)所以f(x)max=f(3)=18-a=m,
所以m-n=18-a-(-2-a)=20.
答案:20
8.函数f(x)=ex(sinx+cosx)在区间上的值域为________.
【解析】因为x∈,所以f′(x)=excosx≥0,
所以f(0)≤f(x)≤f.即≤f(x)≤.
答案:
【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是导函数易求错;二是忽略函数的定义域区间.
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=+lnx,求f(x)在上的最大值和最小值.
【解析】f′(x)=+=.
由f′(x)=0,得x=1.
所以在上,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:
x
1
(1,2)
2
f′(x)
-
0
+
f(x)
1-ln2
单调
递减↘
极小值0
单调递增↗
-+ln2
因为f-f(2)=-2ln2=(lne3-ln16),而e3>16,所以f>f(2)>0.
所以f(x)在上的最大值为f=1-ln2,最小值为0.
【补偿训练】已知f(x)=xlnx,求函数f(x)在(t>0)上的最小值.
【解析】f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0,得x=.
当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
由于t>0,所以t+2>.
①当0②当≤t综上所述,当010.(2015·广州高二检测)已知函数f(x)=2ax-x2-3lnx,其中a∈R,为常数.
(1)若f(x)在x∈上的最大值.
【解析】f′(x)=2a-3x-=.
(1)由题意知f′(x)≤0对x∈时f′(x)≥0,原函数递增,x∈时,f′(x)≤0,原函数递减;
所以最大值为f(3)=-3ln3.
(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知函数y=-x2-2x+3在上的最大值为,则a等于　(　　)
A.- B.
C.- D.-或-
【解析】选C.y′=-2x-2,令y′=0,得x=-1.
当a≤-1时,最大值为f(-1)=4,不合题意.
当-1解得a=-或a=-(舍去).
2.已知函数f(x),g(x)均为上的可导函数,在上连续且f′(x)<
g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为　(　　)
A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)
【解析】选A.令u(x)=f(x)-g(x),则u′(x)=f′(x)-g′(x)<0,所以u(x)在上为减函数,
所以u(x)的最大值为u(a)=f(a)-g(a).
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·南京高二检测)函数f(x)=lnx-x在(0,e]上的最大值为________.
【解析】f′(x)=-1=,令f′(x)>0得01,所以f(x)在(0,1]上是增函数,在(1,e]上是减函数.所以当x=1时,f(x)有最大值f(1)=-1.
答案:-1
4.(2015·福州高二检测)已知函数f(x)=+2lnx,若当a>0时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是________.
【解题指南】可先求出f(x)的最小值,使其最小值大于等于2,解不等式即可求出a的范围.
【解析】由f(x)=+2lnx,得f′(x)=,又函数f(x)的定义域为(0,+∞),且a>0,令f′(x)=0,得x=-(舍去)或x=.当0时,f′(x)>0,故x=是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f()=lna+1.要使f(x)≥2恒成立,需lna+1≥2恒成立,则a≥e.
答案:上的最小值.
【解析】(1)当a=1时,f′(x)=6x2-12x+6,
所以f′(2)=6.
又因为f(2)=4,
所以切线方程为y=6x-8.
(2)记g(a)为f(x)在闭区间上的最小值.
f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).
令f′(x)=0,得到x1=1,x2=a.当a>1时,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
0
(0,1)
1
(1,a)
a
(a,2a)
2a
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
0
单调
递增↗
极大值
3a-1
单调
递减↘
极小值
a2(3-a)
单调
递增↗
4a3
比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得,g(a)=
当a<-1时,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
0
(0,1)
1
(1,-2a)
-2a
f′(x)
-
0
+
f(x)
0
单调
递减↘
极小值
3a-1
单调
递增↗
-28a3-24a2
得g(a)=3a-1.综上所述,f(x)在闭区间上的最小值为g(a)=
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