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模块综合检测(A)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是(　　)
A．0　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
2．已知命题p：若x2＋y2＝0 (x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
4．已知a>0，则x0满足关于x的方程ax＝b的充要条件是(　　)
A．∃x∈R，ax2－bx≥ax－bx0
B．∃x∈R，ax2－bx≤ax－bx0
C．∀x∈R，ax2－bx≥ax－bx0
D．∀x∈R，ax2－bx≤ax－bx0
5．已知椭圆＋＝1 (a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．圆
C．双曲线的一支 D．线段
6．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A．[0，) B．[，)
C．(，] D．[，π)
7．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则a的最大值是(　　)
A．1 B．3 C．9 D．不存在
8．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于(　　)
A．10 B．8 C．6 D．4
9．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)
A. B. C. D.
10．若当x＝2时，函数f(x)＝ax3－bx＋4有极值－，则函数的解析式为(　　)
A．f(x)＝3x3－4x＋4 B．f(x)＝x2＋4
C．f(x)＝3x3＋4x＋4 D．f(x)＝x3－4x＋4
11．设O为坐标原点，F1、F2是－＝1(a>0，b>0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±y＝0 D.x±y＝0
12．若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．∃a∈R，f(x)是偶函数
D．∃a∈R，f(x)是奇函数
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，那么实数m的取值范
围是 ________________________________________________________________．
14．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为
________________________________________________________________________．
15．若AB是过椭圆＋＝1 (a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与坐标轴不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝________.
16．已知f(x)＝x3＋3x2＋a (a为常数)在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f(x)的最大值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知p：2x2－9x＋a<0，q：，且綈q是綈p的必要条件，求实数a的取值范围．
18．(12分)设P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
19.（12分）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足||||＋·＝0，求动点P(x，y)的轨迹方程．
20．(12分)已知函数f(x)＝ax2－ax＋b，f(1)＝2，f′(1)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程．
21.(12分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．
(1)求a的取值范围；
(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
22．(12分)已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1(a∈R)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)当a≤时，讨论f(x)的单调性．
模块综合检测(A) 答案
1．B　[原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．]
2．B　[命题p为真，命题q为假，故p∨q真，綈q真．]
3．D　[双曲线－＝－1，即－＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．所以对椭圆＋＝1而言，a2＝16，c2＝12.∴b2＝4，因此方程为＋＝1.]
4．C　[由于a>0，令函数y＝ax2－bx＝a(x－)2－，此时函数对应的图象开口向上，当x＝时，取得最小值－，而x0满足关于x的方程ax＝b，那么x0＝，ymin＝ax－bx0
＝－，那么对于任意的x∈R，
都有y＝ax2－bx≥－＝ax－bx0.]
5．A　[∵P为MF1中点，O为F1F2的中点，
∴|OP|＝|MF2|，又|MF1|＋|MF2|＝2a，
∴|PF1|＋|PO|＝|MF1|＋|MF2|＝a.
∴P的轨迹是以F1，O为焦点的椭圆．]
6．D　[∵y＝，∴y′＝.
令ex＋1＝t，则ex＝t－1且t>1，
∴y′＝＝－.
再令＝m，则0∴y′＝4m2－4m＝4(m－)2－1，m∈(0,1)．
容易求得－1≤y′<0，
∴－1≤tan α<0，得π≤α<π.]
7．B　[因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以有f′(x)≥0，x∈[1，＋∞)，即3x2－a≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2.
因为x∈[1，＋∞)时，3x2≥3，从而a≤3.]
8．B　[由抛物线的定义，
得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]
9．D　[由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y＝－x，∴－2＝－×4，∴a＝2b，设b＝k，
则a＝2k，c＝k，∴e＝＝＝.]
10．D　[因为f(x)＝ax3－bx＋4，
所以f′(x)＝3ax2－b.
由题意得，
解得，
故所求函数解析式为f(x)＝x3－4x＋4.]
11．D　[如图所示，∵O是F1F2的中点，＋＝2，
∴（＋)2＝(2)2.
即 ||2＋||2＋2||·||·cos 60°＝4||2.
又∵|PO|＝a，
∴ ||2＋||2＋||||＝28a2. ①
又由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a，
∴(|PF1|－|PF2|)2＝4a2.
即|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2. ②
由①－②得|PF1|·|PF2|＝8a2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝20a2.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos 60°＝，
∴8a2＝20a2－4c2.即c2＝3a2.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2.
即＝2，＝.
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.]
12．C　[f′(x)＝2x－，故只有当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上才是增函数，因此A、B不对，当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，因此C对，D不对．]
13．[3,8)
解析　因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，
即m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，
即m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.
14.－＝1
解析　由双曲线－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x得＝，∴b＝a.
∵抛物线y2＝16x的焦点为F(4,0)，∴c＝4.
又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(a)2，
∴a2＝4，b2＝12.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
15．－
解析　设A(x1，y1)，M(x0，y0)，
则B(－x1，－y1)，
则kAM·kBM＝·＝
＝＝－.
16．57
解析　f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)＝0，
得x＝0或x＝－2.
又∵f(0)＝a，f(－3)＝a，
f(－2)＝a＋4，f(3)＝54＋a，
∴f(x)的最小值为a，最大值为54＋a.
由题可知a＝3，∴f(x)的最大值为57.
17．解　由，得，
即2设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2∵綈p⇒綈q，∴q⇒p，∴B⊆A.
即2设f(x)＝2x2－9x＋a，
要使2需，即.
∴a≤9.故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}．
18．解　如图所示，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则S△F1PF2＝mnsin
＝mn.
由椭圆的定义知
|PF1|＋|PF2|＝20，
即m＋n＝20. ①
又由余弦定理，得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
＝|F1F2|2，
即m2＋n2－mn＝122. ②
由①2－②，得mn＝.
∴S△F1PF2＝.
19．解 设 P＝(x，y)，则 ＝(4,0)，＝(x＋2，y)，
＝(x－2，y)．
∴ ||＝4，||＝，
·＝4(x－2)，
代入 ||·||＋·＝0，
得4＋4(x－2)＝0，
即＝2－x，
化简整理，得y2＝－8x.
故动点P(x，y)的轨迹方程为y2＝－8x.
20．解　(1)f′(x)＝2ax－a，
由已知得，
解得，
∴f(x)＝x2－2x＋.
(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为
y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
21．解　(1)由消去y，
得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
依题意得即－(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，
∴x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.
∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0，
∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围．
故a＝±1.
22．解　(1)当a＝－1时，f(x)＝ln x＋x＋－1，
x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
因此f′(2)＝1，
即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.
又f(2)＝ln 2＋2，
所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y－(ln 2＋2)＝x－2，即x－y＋ln 2＝0.
(2)因为f(x)＝ln x－ax＋－1，
所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)．
令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)．
①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，
所以当x∈(0,1)时，g(x)>0，
此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，
此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
②当a≠0时，由f′(x)＝0，
即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝－1.
a．当a＝时，x1＝x2，g(x)≥0恒成立，
此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
b．当01，
x∈(0,1)时，g(x)>0，
此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
x∈时，g(x)<0，
此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
x∈时，g(x)>0，
此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
c．当a<0时，由于－1<0.
x∈(0,1)时，g(x)>0，
此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，
此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
综上所述：
当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增；
当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当0