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章末综合测评(二)　圆锥曲线与方程
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝－x2的准线方程是(　　)
A．x＝　　　　　　　 B．y＝2
C．y＝ D．y＝－2
【解析】　将y＝－x2化为标准形式为x2＝－8y，故准线方程为y＝2.
【答案】　B
2．(2015·安徽高考)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
【解析】　法一　由渐近线方程为y＝±2x，可得＝±x，所以双曲线的标准方程可以为x2－＝1.
法二　A中的渐近线方程为y＝±2x；B中的渐近线方程为y＝±x；C中的渐近线方程为y＝±x；D中的渐近线方程为y＝±x.故选A.
【答案】　A
3．(2015·湖南高考)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，
∴＝.
又b2＝c2－a2，∴＝，
即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.
【答案】　D
4．抛物线y2＝x关于直线x－y＝0对称的抛物线的焦点坐标是(　　) 【导学号：26160065】
A．(1,0) B.
C．(0,1) D.
【解析】　∵y2＝x的焦点坐标为，
∴关于直线y＝x对称后抛物线的焦点为.
【答案】　B
5．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，·的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
【解析】　设P(x0，y0)，又F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．|F1F2|＝4.
S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝2，
∴|y0|＝1.又－y＝1，
∴x＝3(y＋1)＝6，∴·＝x＋y－4＝6＋1－4＝3.
【答案】　B
6．(2016·泰安高二检测)有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是(　　)
A．2p B．4p
C．6p D．8p
【解析】　设A、B在y2＝2px上，另一个顶点为O，则A、B关于x轴对称，则∠AOx＝30°，则OA的方程为y＝x.由得y＝2p，∴△AOB的边长为4p.
【答案】　B
7．已知|A|＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，O＝O＋O，则动点P的轨迹方程是(　　)
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
【解析】　设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝(0，y0)＋(x0,0)，即x＝x0，y＝y0，所以x0＝x，y0＝3y.因为|A|＝3，所以x＋y＝9，即2＋(3y)2＝9，化简整理得动点P的轨迹方程是＋y2＝1.
【答案】　A
8．AB为过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的中心的弦F1为一个焦点，则△ABF1的最大面积是(c为半焦距)(　　)
A．ac B．ab
C．bc D．b2
【解析】　△ABF1的面积为c·|yA|，因此当|yA|最大，
即|yA|＝b时，面积最大．故选C.
【答案】　C
9．若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(　　)
A．7 B.
C. D.
【解析】　|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6，
则|AF2|＝6－|AF1|，
|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°
＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
即(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
解得|AF1|＝，
所以S＝××2×＝.
【答案】　B
10．(2015·重庆高考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)
A．± B．±
C．±1 D．±
【解析】　由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C.
∵A1B⊥A2C，
∴·＝－1，整理得a＝b.
∵渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，
∴渐近线的斜率为±1.
【答案】　C
11．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积是(　　)
A．3 B．2
C. D.
【解析】　如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3，
∴点A的横坐标为2.
将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点A的纵坐标y＝2，
∴A(2,2)，
∴直线AF的方程为y＝2(x－1)．
联立直线与抛物线的方程
解之得或
由图知B，
∴S△AOB＝|OF|·|yA－yB|＝×1×|2＋|＝.
【答案】　D
12．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则(　　)
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
【解析】　由题意，知a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝×2＝a，解得a2＝，b2＝，故选C.
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(2015·北京高考)已知(2,0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.
【解析】　由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c＝2.根据双曲线的标准方程，可知a2＝1.又c2＝a2＋b2，所以b2＝3.又b>0，所以b＝.
【答案】　
14．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．
【解析】　由题意知|F1F2|＝2＝4，设P点坐标为(x，y)．
由得
则S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×4×＝.
【答案】　
15.如图1，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆＋＝1的右焦点F，且两条曲线的交点连线也经过焦点F，则该椭圆的离心率为________．
图1
【解析】　由条件知，c＝，
∴其中一个交点坐标为(c,2c)，
∴＋＝1，∴e4－6e2＋1＝0，
解得e2＝3±2，∴e＝±(±1)．
又0【答案】　－1
16．(2015·上海高考)已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为－y2＝1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为________．
【解析】　因为C1的方程为－y2＝1，所以C1的一条渐近线的斜率k1＝，所以C2的一条渐近线的斜率k2＝1，因为双曲线C1、C2的顶点重合，即焦点都在x轴上，
设C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
所以a＝b＝2，所以C2的方程为－＝1.
【答案】　－＝1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．
【解】　由共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，可设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1(b>0)．
点P(3,4)在椭圆上，则＋＝1，得a2＝40，
双曲线过点P(3,4)的渐近线方程为y＝x，即4＝×3，得b2＝16.
所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
18．(本小题满分12分)(2016·厦门高二检测)已知直线l：y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点，
(1)若|AB|＝10，求m的值；
(2)若OA⊥OB，求m的值．
【解】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(1)⇒x2＋(2m－8)x＋m2＝0
⇒
|AB|＝|x1－x2|＝ ＝10，
得m＝，∵m＜2，∴m＝.
(2)∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0.
x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0，
2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，
2m2＋m(8－2m)＋m2＝0，
m2＋8m＝0，m＝0或m＝－8.
经检验m＝－8.
19．(本小题满分12分)已知双曲线过点P，它的渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝41，求∠F1PF2的余弦值．
【解】　(1)由渐近线方程知，双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－3的点P′的纵坐标的绝对值为4.
∵4>4，∴双曲线的焦点在x轴上，设方程为－＝1.
∵双曲线过点P(－3，4)，
∴－＝1.①
又＝，②
由①②，得a2＝9，b2＝16，
∴所求的双曲线方程为－＝1.
(2)设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，
则d1·d2＝41.又由双曲线的几何性质知，|d1－d2|＝2a＝6.
由余弦定理，得cos∠F1PF2＝
＝＝.
20．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB. 【导学号：26160066】
【解】　(1)由题设条件知，点M的坐标为，
又kOM＝，从而＝.
进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.
(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.
又＝(－a，b)，
从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．
由(1)的计算结果可知a2＝5b2，
所以·＝0，故MN⊥AB.
21．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F及点A(0，b)，原点O到直线FA的距离为b.
(1)求椭圆C的离心率e；
(2)若点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点P在圆O：x2＋y2＝4上，求椭圆C的方程及点P的坐标．
【解】　(1)由点F(－ae,0)，点A(0，b)，及b＝a，得直线FA的方程为＋＝1，即x－ey＋ae＝0.
因为原点O到直线FA的距离为
b＝ae，
所以·a＝ae，
解得e＝.
(2)设椭圆C的左焦点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点为P(x0，y0)，则有
解得x0＝a，y0＝a.
因为P在圆x2＋y2＝4上，所以2＋2＝4.
所以a2＝8，b2＝(1－e2)a2＝4.
故椭圆C的方程为＋＝1，
点P的坐标为.
22．(本小题满分12分)(2016·郑州高二检测)已知经过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B，C，当直线l的斜率是时，A＝A.
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
【解】　(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知，当kl＝时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.
由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
所以又因为A＝A，
所以y2＝y1或y1＝4y2.
由p>0得：y1＝4，y2＝1，p＝2，即抛物线方程为x2＝4y.
(2)设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)，
由
得x2－4kx－16k＝0.①
所以x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
所以BC的中垂线方程为
y－2k2－4k＝－(x－2k)，
所以BC的中垂线在y轴上的截距为b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，
对于方程①由Δ＝16k2＋64k>0得k>0或k<－4.所以b∈(2，＋∞)．