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学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为(　　)
A．6 m　　　　　　　　　B．8 m
C．4 m D．2 m
【解析】　设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0得x＝8，因此h＝＝4(m)．
【答案】　C
2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(　　)
A．150 B．200
C．250 D．300
【解析】　由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390.
由P′(x)＝0，得x＝300.
当0≤x＜300时，P′(x)＞0；当300≤x≤390时，P′(x)＜0，所以当x＝300时，P(x)最大．故选D.
【答案】　D
3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)(　　)
A．32,16 B．30,15
C．40,20 D．36,18
【解析】　要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短．
设场地宽为x米，则长为米，
因此新墙总长L＝2x＋(x＞0)，
则L′＝2－.
令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．
此时长为＝32(米)，可使L最小．
【答案】　A
4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
【解析】　毛利润为(P－20)Q，
即f(P)＝(P－20)(8 300－170P－P2)，
f′(P)＝－3P2－300P＋11 700
＝－3(P＋130)(P－30)．
令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去)．
又P∈[20，＋∞)，故f(P)max＝f(P)极大值，
故当P＝30时，毛利润最大，
∴f(P)max＝f(30)＝23 000(元)．
【答案】　D
5．三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O－ABC体积的最大值为(　　)
A．4 B．8
C. D.
【解析】　V＝×·y＝＝＝(0＜x＜3)，
V′＝＝2x－x2＝x(2－x)．
令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．
∴x＝2时，V最大为.
【答案】　C
二、填空题
6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
【解析】　设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，所以L＝.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，令S′表＝2πR－＝0，得R＝3，即当R＝3时，S表最小．
【答案】　3
7．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米. 【导学号：26160099】
【解析】　设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x>0)，所以y′＝2，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.当0200时，y′>0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．
【答案】　800
8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
【解析】　设仓库与车站相距x千米，依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，于是由2＝得k1＝20；由8＝10k2得k2＝.
∴两项费用之和为y＝＋(x＞0)，
y′＝－＋，令y′＝0，
得x＝5或x＝－5(舍去)．
当0＜x＜5时，y′＜0；
当x＞5时，y′＞0.
∴当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．
∴当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
【答案】　5
三、解答题
9．(2016·武汉高二检测)某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？
【解】　设该厂生产x件这种产品利润为L(x)，
则L(x)＝500x－2 500－C(x)
＝500x－2 500－
＝300x－x3－2 500(x∈N)，
令L′(x)＝300－x2＝0，
得x＝60(件)，
又当0≤x≤60时，L′(x)>0，
x>60时，L′(x)<0，
所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝60时，L(x)max＝9 500元．
10．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
【解】　设容器底面较短的边长为x m，则容器底面较长的边长为(x＋0.5)m，高为＝3.2－2x(m)，
由3.2－2x>0和x>0，得0设容器容积为y m3，
则y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.
令y′＝0，得x1＝1，x2＝－(舍去)，
当00；
当1所以在x＝1处y有最大值，此时容器的高为1.2 m，最大容积为1.8 m3.
[能力提升]
1．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30千米/时，当速度为10千米/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)是每小时400元．如果甲、乙两地相距800千米，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为(　　)
A．30千米/时 B．25千米/时
C．20千米/时 D．10千米/时
【解析】　设航速为v(0≤v≤30)，燃料费为m，
则m＝kv3，
∵v＝10时，m＝25，代入上式得k＝，
则总费用y＝·m＋×400＝20v2＋，
∴y′＝40v－.
令y′＝0，得v＝20.
经判断知v＝20时，y最小，故选C.
【答案】　C
2．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(　　)
A.3π B.3π
C.3π D.3π
【解析】　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，
则4r＋2h＝l，
∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，
令V′＝0，得r＝0或r＝，
而r＞0，∴r＝是其唯一的极值点．
当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.
【答案】　A
3．如图3－4－4，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
图3－4－4
【解析】　设CD＝x，则点C坐标为，
点B坐标为，
∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)>0，f(x)是递增的；
x∈时，f′(x)<0，f(x)是递减的，
∴当x＝时，f(x)取最大值.
【答案】　
4．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0【解】　由题意，得本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)万元，本年度每辆车出厂价为13(1＋0.7 x)万元，本年度的年利润为
f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]y
＝(3－0.9x)×3 240×
＝3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，
则f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)．
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)．
当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以，当x＝时，f(x)取得极大值，f＝20 000.
因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．
故当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．