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第2课时　分段函数及映射
课时目标　1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题.2.了解映射的概念．
1．分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的____________的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图象时，应_____________________________________．
2．映射的概念
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中____________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的__________．
一、选择题
1．已知，则f(3)为(　　)
A．2B．3C．4D．5
2．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是(　　)
3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：
每间房定价
100元
90元
80元
60元
住房率
65%
75%
85%
95%
要使每天的收入最高，每间房的定价应为(　　)
A．100元B．90元C．80元D．60元
4．已知函数，使函数值为5的x的值是(　　)
A．－2B．2或－
C．2或－2D．2或－2或－
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为(　　)
A．13立方米B．14立方米
C．18立方米D．26立方米
6．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从P到Q的映射的是(　　)
A．f：x→y＝xB．f：x→y＝x
C．f：x→y＝xD．f：x→y＝
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．已知，则f(7)＝____________.
8．设则f{f[f(－)]}的值为________，f(x)的定义域是______________．
9．已知函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式是__________________．
三、解答题
10．已知，
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的定义域和值域．
11．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
能力提升
12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是(　　)
A．∅B．∅或{1}
C．{1}D．∅
13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．
1．全方位认识分段函数
(1)分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．
(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．
2．对映射认识的拓展
映射f：A→B，可理解为以下三点：
(1)A中每个元素在B中必有唯一的元素与之对应；
(2)对A中不同的元素，在B中可以有相同的元素与之对应；
(3)A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多．
3．函数与映射的关系
映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射．
由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．
第2课时　分段函数及映射
知识梳理
1．(1)对应关系　(2)并集　(3)分别作出每一段的图象
2．都有唯一　一个映射
作业设计
1．A　[∵3<6，
∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.]
2．D
3．C　[不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．]
4．A　[若x2＋1＝5，则x2＝4，又∵x≤0，∴x＝－2，
若－2x＝5，则x＝－，与x>0矛盾，故选A.]
5．A　[该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝
由y＝16m，可知x>10.
令2mx－10m＝16m，解得x＝13(立方米)．]
6．C　[如果从P到Q能表示一个映射，根据映射的定义，对P中的任一元素，按照对应关系f在Q中有唯一元素和它对应，选项C中，当x＝4时，y＝×4＝∉Q，故选C.]
7．6
解析　∵7<9，
∴f(7)＝f[f(7＋4)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)．
又∵8<9，∴f(8)＝f[f(12)]＝f(9)＝9－3＝6.
即f(7)＝6.
8.　{x|x≥－1且x≠0}
解析　∵－1<－<0，
∴f(－)＝2×(－)＋2＝.
而0<<2，
∴f()＝－×＝－.
∵－1<－<0，∴f(－)＝2×(－)＋2＝.
因此f{f[f(－)]}＝.
函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<0}∪{x|09．f(x)＝
解析　由图可知，图象是由两条线段组成，
当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)
代入解析式，则∴
当0则k＝－1.
10.
解　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，
函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，
f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1]．
11．解　当点P在BC上运动，
即0≤x≤4时，y＝×4x＝2x；
当点P在CD上运动，即4当点P在DA上运动，即8y＝×4×(12－x)＝24－2x.
综上可知，f(x)＝
12．B　[由题意可知，集合A中可能含有的元素为：当x2＝1时，x＝1，－1；当x2＝2时，x＝，－.
所以集合A可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．
无论含有几个元素，A∩B＝∅或{1}．故选B.]
13．解　根据题意可得d＝kv2S.
∵v＝50时，d＝S，代入d＝kv2S中，
解得k＝.
∴d＝v2S.
当d＝时，可解得v＝25.
∴d＝.