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章末综合测评(一)　空间几何体
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·兰州高一检测)下列说法中正确的是(　　)
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C．所有的几何体的表面都能展成平面图形
D．棱柱的各条棱都相等
【解析】　A不正确，棱柱的侧面都是四边形；C不正确，如球的表面就不能展成平面图形；D不正确，棱柱的各条侧棱都相等，但侧棱与底面的棱不一定相等；B正确．
【答案】　B
2．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是(　　)
【导学号：09960037】
①　　　　②　　　　③　　　　　④
图1
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【解析】　正方体的三视图都相同，都是正方形，球的三视图都相同，都为圆面．
【答案】　D
3．(2016·成都高二检测)如图2，A′B′C′D′为各边与坐标轴平行的正方形ABCD的直观图，若A′B′＝3，则原正方形ABCD的面积是(　　)
图2
A．9 B．3
C. D．36
【解析】　由题意知，ABCD是边长为3的正方形，其面积S＝9.
【答案】　A
4．(2016·泰安高二检测)圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为(　　)
A．7 B．6
C．5 D．3
【解析】　设圆台较小底面圆的半径为r，由题意，另一底面圆的半径R＝3r.
所以S侧＝π(r＋R)l＝4πr×3＝84π，解得r＝7.
【答案】　A
5．如图3所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是(　　)
图3
A　 　　　B　　　　　C　　　　　D
【解析】　四边形D1MBN在上下底面的正投影为A；在前后面上的正投影为B；在左右面上的正投影为C；故选D.
【答案】　D
6．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)
【导学号：09960038】
A. B．4π
C．2π D.
【解析】　正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，所以球的半径r＝＝1，
球的体积V＝r3＝.故选D.
【答案】　D
7．如图4所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是(　　)
图4
①　　②　　③　 　④　　⑤
A．①② B．①③
C．①④ D．①⑤
【解析】　当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为①，当不过上、下底面的中心时，截面图形为⑤，故D正确．
【答案】　D
8．(2016·郑州高一检测)一个多面体的三视图如图5所示，则该多面体的表面积为(　　)
图5
A．21＋ B．18＋
C．21 D．18
【解析】　由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示．
因此该几何体的表面积为6×＋2××()2＝21＋.
【答案】　A
9．若一圆锥与一球的体积相等，且此圆锥底面半径与此球的直径相等，则此圆锥侧面积与此球的表面积之比为(　　)
【导学号：09960039】
A.∶2 B.∶2
C.∶2 D．3∶2
【解析】　设圆锥底面半径为r，高为h，
则V球＝π3＝πr3，V锥＝πr2h，
由于体积相等，∴πr3＝πr2h，∴h＝，
∴S球＝4π2＝πr2，S锥＝πr2，S锥∶S球＝∶2.
【答案】　B
10．已知三棱锥S­ABC，D、E分别是底面的边AB、AC的中点，则四棱锥S­BCED与三棱锥S­ABC的体积之比为(　　)
A．1∶2 B．2∶3
C．3∶4 D．1∶4
【解析】　由于D、E分别为边AB、AC的中点，
所以＝，
所以＝，
又因为四棱锥S­BCED与三棱锥S­ABC的高相同．
所以它们的体积之比也即底面积之比，为3∶4.
【答案】　C
11．(2016·深圳高一检测)如图6是某几何体的三视图，则该几何体的体积是(　　)
图6
A．26 B．27
C. D．28
【解析】　由三视图知，该几何体由棱长为3的正方体和底面积为，高为1的三棱锥组成，所以其体积V＝33＋××1＝.
【答案】　C
12．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　由于三棱锥S­ABC与三棱锥O­ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S­ABC的高是三棱锥O­ABC高的2倍，所以三棱锥S­ABC的体积也是三棱锥O­ABC体积的2倍．
在三棱锥O­ABC中，其棱长都是1，如图所示，
S△ABC＝×AB2＝，
高OD＝＝，
∴VS­ABC＝2VO­ABC＝2×××＝.
【答案】　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.
【解析】　如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.
在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5 cm.
∴AB＝＝13(cm)．
【答案】　13
14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________.
【导学号：09960040】
【解析】　设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，
由＝，得＝，则＝.
由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，
即r1h1＝r2h2，所以＝＝＝.
【答案】　
15．(2016·太原高一检测)若各顶点都在一个球面上的长方体的高为4，底面边长都为2，则这个球的表面积是________．
【解析】　长方体的体对角线长为＝2，
球的直径是2R＝2，
所以R＝，
所以这个球的表面积S＝4π()2＝24π.
【答案】　24π
16．(2016·马鞍山高一检测)在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝b(b图7
【解析】　VQ­D1EF＝VD1­QEF＝S△QEF·DD1
＝×b×a×a＝a2b.
【答案】　a2b
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图8所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.
【导学号：09960041】
图8
【解】　在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，
O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝.
18．(本小题满分12分)一个半径为1的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图9所示，求剩余几何体的体积和表面积．
图9
【解】　如图，该几何体是把球的上半部分平均分为4份后，切去相对的两部分后剩余的几何体，体积V＝π－π×＝π，
表面积S＝4π－4π×＋π×3×2＝.
19．(本小题满分12分)(2016·河源市高一检测)已知一个圆柱的侧面展开图是边长为6π和8π的矩形，求该圆柱的表面积．
【解】　如图所示，以AB边为底面周长的圆柱时，底面圆半径r1＝＝3，高h1＝8π，所以S表＝2πr＋2πr1h1＝2π·32＋2π·3·8π＝18π＋48π2.
以AD边为底面周长的圆柱时，底面圆半径r2＝＝4，高h2＝6π，所以S表＝2πr＋2πr2h2
＝2π·42＋2π·4·6π
＝32π＋48π2.
综上，所求圆柱的表面积是48π2＋32π或48π2＋18π.
20．(本小题满分12分)(2016·临沂高一检测)如图10所示，正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：
图10
(1)三棱锥A′­BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
(2)三棱锥A′­BC′D的体积．
【解】　(1)∵ABCD­A′B′C′D′是正方体，∴六个面都是正方形，
∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a，
∴S三棱锥＝4××(a)2＝2a2，S正方体＝6a2，
∴＝.
(2)显然，三棱锥A′­ABD、C′­BCD、D­A′D′C′、B­A′B′C′是完全一样的，
∴V三棱锥A′­BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′­ABD
＝a3－4××a2×a＝a3.
21．(本小题满分12分)(2016·中山高二检测)如图11所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABC绕AD旋转一周，求阴影部分形成的几何体的体积.
【导学号：09960042】
图11
【解】　所形成几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，
由已知可得圆柱的底面半径为1，高为，圆锥底面半径为2，高为2，
所以V圆锥＝·π·22·2＝π，
V圆柱＝π·12·＝π，
所以所求几何体的体积为
V＝V圆锥－V圆柱＝π－π
＝π.
22．(本小题满分12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
【解】　(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，
则仓库的体积：
V1＝×π×2×4＝π(m3)．
如果按方案二，仓库的高变成8 m，
则仓库的体积：
V2＝×π×2×8＝π(m3)．
(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m．圆锥的母线长为l＝＝4，则仓库的表面积S1＝π×8×4＝32π(m2)．
如果按方案二，仓库的高变成8 m．圆锥的母线长为l＝＝10，则仓库的表面积S2＝π×6×10＝60π(m2)．
(3)∵V2>V1，S2∴方案二比方案一更经济．