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1．1　变化率与导数
1．1.1　变化率问题
1．1.2　导数的概念
[学习目标]
1．了解导数概念的实际背景．
2．会求函数在某一点附近的平均变化率．
3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
[知识链接]
　很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？
答　气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝，
(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，
气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L)．
(2)当V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，
气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L)．
可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
[预习导引]
1．函数的变化率
定义
实例
平均
变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，简记作：
①平均速度；②曲线割线的斜率
瞬时
变化率
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 ＝ .
①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率
2.函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
要点一　求平均变化率
例1　已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解　(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h (1)＝－4.9 (Δx)2－3.3Δx，∴＝－4.9Δx－3.3.
①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；
②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；
③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；
④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
规律方法　求平均变化率的主要步骤：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
跟踪演练1　求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
解　函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
要点二　物体运动的瞬时速度
例2　高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝ s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．
解　令t0＝，Δt为增量．则＝＋
＝＝－4.9＋6.5，
∴ ＝ ＝0，
即运动员在t0＝ s时的瞬时速度为0 m/s.
说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．
规律方法　求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：
(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求时间t0到t0＋Δt之间的平均速度＝；
(3)求 的值，即得t＝t0时的瞬时速度．
跟踪演练2　一质点按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
解　∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1
＝4aΔt＋a(Δt)2，
∴＝4a＋aΔt.
在t＝2 s时，瞬时速度为 ＝4a，即4a＝8，∴a＝2.
要点三　函数在某点处的导数
例3　求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．
解　Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，
∵＝＝3Δx＋4，
∴y′|x＝1＝ ＝ (3Δx＋4)＝4.
规律方法　求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .
跟踪演练3　利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
解　由导数的定义知，函数在x＝2处的导数
f′(2)＝ ，而f(2＋Δx)－f(2)
＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)
＝－(Δx)2－Δx，
于是f′(2)＝ ＝ (－Δx－1)＝－1.
1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是(　　)
A．4 B．4.1
C．0.41 D．3
答案　B
解析　＝＝4.1.
2．函数f(x)在x0处可导，则 (　　)
A．与x0、h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0、h均无关
答案　B
3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于(　　)
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
答案　C
解析　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴＝2Δx＋4.
4．已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.
答案　－
解析　f′(1)＝ ＝
＝ ＝－.
　利用导数定义求导数三步曲：
(1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)作比求平均变化率＝；
(3)取极限得导数f′(x0)＝ ，
简记为一差，二比，三极限.
一、基础达标
1．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率中，Δx不可能是(　　)
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
答案　C
2．
如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　)
A．1 　 B．－1
C．2 　 D．－2
答案　B
解析　 ＝＝＝－1.
3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2) (s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为(　　)
A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s
C．0.88 m/s D．4.8 m/s
答案　A
解析　物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．
4．设函数f(x)可导，则 等于(　　)
A．f′(1) B．3f′(1)
C．f′(1) D．f′(3)
答案　A
解析　 ＝f′(1)．
5．已知函数y＝＋3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.
答案　
解析　Δy＝f(1.5)－f(2)＝－＝－1＝.
6．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．
答案　3
解析　v初＝s′|t＝0＝ ＝ (3－Δt)＝3.
7．利用定义求函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率．
解　因为在x＝2附近，Δy＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，所以函数在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率为＝＝－8－2Δx.故函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率为 (－8－2Δx)＝－8.
二、能力提升
8.
甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是(　　)
A．甲 　 B．乙
C．相同 　 D．不确定
答案　B
解析　在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，
但是，在t0－Δt处，W1(t0－Δt)即<，所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．
9．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________，当Δx＝0.001时，割线的斜率k＝________.
答案　2.1　2.001
解析　∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，
∴＝2＋Δx，∴割线斜率为2＋Δx，
当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.
当Δx＝0.001时，割线PQ的斜率k＝2＋0.001＝2.001.
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．
答案　2
解析　由导数的定义，
得f′(0)＝
＝
＝ [a·(Δx)＋b]＝b＞0.
又，∴ac≥，∴c>0.
∴＝≥≥＝2.
11．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
解　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴＝＝2Δx＋16.
∴y′|x＝3＝ ＝ (2Δx＋16)＝16.
12．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．
解　∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c
＝a(Δx)2＋2aΔx.
∴f′(1)＝ ＝
＝ (aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，∴a＝1.
三、探究与创新
13．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．
解　由导数的定义知，
f′(x)＝ ＝2x，
g′(x)＝ ＝3x2.
∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.
即3x2－2x－2＝0，解得x＝或x＝.
1．1.3　导数的几何意义
[学习目标]
1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．
2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．
3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．
[知识链接]
　如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？
答　
设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝.当点
B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ .
[预习导引]
1．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．函数的导函数
当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝ .
要点一　过曲线上一点的切线方程
例1　若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．
解　∵y＝x3＋3ax.
∴y′＝
＝
＝ [3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.
设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，
结合已知条件，得
解得
∴a＝1－.
规律方法　一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线C上的定点，由导数的几何意义知k＝ ＝ ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．
跟踪演练1　求曲线y＝在点处的切线方程．
解　因为 ＝ ＝
＝－.所以这条曲线在点处的切线斜率为－，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0.
要点二　求过曲线外一点的切线方程
例2　已知曲线y＝2x2－7，求：
(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．
解　y′＝ ＝ ＝ (4x＋2Δx)＝4x.
(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，
∴切点坐标为(1，－5)．
(2)由于点P(3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．
将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，
得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．
从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.
规律方法　若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
跟踪演练2　求过点A(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程．
解　易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由
y′|x＝x0＝ ＝－，
得所求直线方程为y－y0＝－(x－x0)．
由点(2,0)在直线上，得xy0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所求直线方程为x＋y－2＝0.
要点三　求切点坐标
例3　在曲线y＝x2上过哪一点的切线，
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
解　f′(x)＝ ＝ ＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，
所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，
即P(2,4)是满足条件的点．
(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，
所以其斜率为－1.即2x0＝－1，
得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
规律方法　解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．
跟踪演练3　已知抛物线y＝2x2＋1，求
(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
解　设点的坐标为(x0，y0)，则
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
∴＝4x0＋2Δx.
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0.
即f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴斜率为4，
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．
(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
∴斜率为8，
即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．
1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为(　　)
A．4 B．16
C．8 D．2
答案　C
解析　f′(2)＝
＝ ＝ (8＋2Δx)＝8，即k＝8.
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
答案　A
解析　由题意，知k＝y′|x＝0
＝ ＝1，∴a＝1.
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.
3．已知曲线y＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为(　　)
A．30° B．45°
C．135° D．165°
答案　B
解析　∵y＝x2－2，
∴y′＝
＝
＝ ＝x.
∴y′|x＝1＝1.∴点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.
4．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．
答案　(3,30)
解析　设点P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝ ＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝ ＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
一、基础达标
1．下列说法正确的是(　　)
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
答案　C
解析　k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.
2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
答案　B
解析　由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是(　　)
A．(0,0) B．(2,4)
C．(，) D．(，)
答案　D
解析　∵y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x，
∴令2x＝tan ＝1，得x＝.∴y＝2＝，所求点的坐标为.
4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)
A．1 B．
C．－ D．－1
答案　A
解析　∵y′|x＝1＝
＝ (2a＋aΔx)＝2a.∴可令2a＝2，∴a＝1.
5．设y＝f(x)为可导函数，且满足条件 ＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是________．
答案　－4
解析　由 ＝－2，∴f′(1)＝－2，f′(1)＝－4.
6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
答案　3
解析　由在M点的切线方程y＝x＋2
得f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝.
∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
7．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．
解　曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率
k＝y′|x＝1＝
＝ (3Δx＋2)＝2.
∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，
由点斜式得y－2＝2(x＋1)，
即2x－y＋4＝0.
所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
二、能力提升
8.
如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝(　　)
A．2 　　 B．3
C．4 　　 D．5
答案　A
解析　易得切点P(5,3)，∴f(5)＝3，k＝－1，即f′(5)＝－1.∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
9．若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝________.
答案　3
解析　设切点坐标为(x0,1)，则f′(x0)＝4x0－4＝0，
∴x0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋P＝1，即P＝3.
10．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P横坐标的取值范围为________．
答案　
解析　∵f′(x)＝
＝ ＝ (Δx＋2x＋2)＝2x＋2.
∴可设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x0＋2.由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－，∴点P横坐标的取值范围为.
11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
解　(1) 由得或
∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．
(2)∵y＝x2＋4，
∴y′＝
＝
＝ (Δx＋2x)＝2x.
∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，
即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.
∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；
在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.
12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
解　∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)
＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于3x＋2ax0－9.
即f′(x0)＝3x＋2ax0－9
∴f′(x0)＝3(x0＋)2－9－.
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12.∴－9－＝－12.
解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.
三、探究与创新
13．已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
解　(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，
∴切点为P(1,1)．∵f′(x0)＝ ＝m
＝
＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，
∴当x0＝1时，k＝f′(1)＝3.
∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)由，可得(x－1)(x2＋x－2)＝0，
解得x1＝1，x2＝－2.
从而求得公共点为(1,1)或(－2，－8)．
说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有其他的公共点.
1．2　导数的计算
1．2.1　几个常用函数的导数
1．2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
[学习目标]
1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．
2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
[知识链接]
　在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？
答　(1)计算，并化简；
(2)观察当Δx趋近于0时，趋近于哪个定值；
(3)趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．
[预习导引]
1．几个常用函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
f(x)＝
f′(x)＝
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a>0，且a≠1)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝(a>0，且a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝
要点一　利用导数定义求函数的导数
例1　用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．
解　f′(x)＝
＝
＝
＝ (4 026x＋2 013Δx)
＝4 026x.
规律方法　解答此类问题，应注意以下几条：
(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．
(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于0.
(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．
跟踪演练1　用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．
解　y′＝
＝
＝
＝ (2x＋a＋Δx)＝2x＋a.
要点二　利用导数公式求函数的导数
例2　求下列函数的导数
(1)y＝sin ；(2)y＝5x；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝log3x.
解　(1)y′＝0；
(2)y′＝(5x)′＝5xln 5；
(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；
(4)y′＝′＝′＝x－＝；
(5)y′＝(log3x)′＝.
规律方法　求简单函数的导函数的基本方法：
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
跟踪演练2　求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝logx.
解　(1)y′＝8x7；
(2)y′＝xln ＝－xln 2；
(3)∵y＝x＝x，∴y′＝x；
(4) y′＝＝－.
要点三　利用导数公式求曲线的切线方程
例3　求过曲线y＝sin x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．
解　∵y＝sin x，∴y′＝cos x，
曲线在点P处的切线斜率是：
y′|x＝＝cos＝.
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－，
故所求的直线方程为y－＝－，
即2x＋y－－＝0.
规律方法　导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．
跟踪演练3　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解　∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则y′|x＝x0＝2x0，
又∵PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，
∴k＝2x0＝1，即x0＝，所以切点为M.
∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝(　　)
A．0 B．2x
C．6 D．9
答案　C
解析　∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.
2．函数f(x)＝，则f′(3)等于(　　)
A. B．0
C． D．
答案　A
解析　∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝.
3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　)
A.∪ B．[0，π)
C． D．∪
答案　A
解析　∵(sin x)′＝cos x，∵kl＝cos x，∴－1≤kl≤1，
∴αl∈∪.
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
答案　e2
解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴S△＝×1×＝e2.
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.
一、基础达标
1．下列结论中正确的个数为(　　)
①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－；③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　D
解析　①y＝ln 2为常数，所以y′＝0.①错．②③④正确．
2．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(　　)
A. B．或
C． D．
答案　B
解析　y′＝′＝－＝－4，x＝±，故选B.
3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于(　　)
A．4 B．－4
C．5 D．－5
答案　A
解析　f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.
4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
答案　B
解析　∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线．
5．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．
答案　x＋y－6＝0
解析　∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1，
∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：
y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0.
6．若曲线y＝x－在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.
答案　64
解析　∵y＝x－，∴y′＝－x－，
∴曲线在点处的切线斜率k＝－a－，
∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．
令x＝0得y＝a－；令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·a－＝a＝18，∴a＝64.
7．求下列函数的导数：
(1) y＝；(2)y＝；(3)y＝－2sin ；
(4)y＝log2x2－log2x.
解　(1)y′＝′＝′＝x－1＝x－＝.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.
(3)∵y＝－2sin
＝2sin ＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，
∴y′＝(log2x)′＝.
二、能力提升
8．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　)
A. B．－
C．－e D．e
答案　D
解析　y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则
∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.
9．曲线y＝ln x在x＝a处的切线倾斜角为，则a＝________.
答案　1
解析　y′＝，∴y′|x＝a＝＝1，∴a＝1.
10．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为________．
答案　
解析　
根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.
∵y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为.
11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．
解　∵f(x)＝cos x，g(x)＝x，
∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1，
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，
即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]，
∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z.
12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解　根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点坐标为，
切点到直线x－y－2＝0的距离
d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
三、探究与创新
13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)．
解　f1(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，
f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，
f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，
f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，
f6(x)＝f2(x)，…，
fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4，
∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x．
1.2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
[学习目标]
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．
2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．
[知识链接]
　前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？
答　利用导数的运算法则．
[预习导引]
1．导数运算法则
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数
′＝(g(x)≠0)
两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方
2．复合函数的求导法则
复合函数
的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))
复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
要点一　利用导数的运算法则求函数的导数
例1　求下列函数的导数：
(1) y＝x3－2x＋3；
(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝3x－lg x.
解　(1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.
(2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，
∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.
(3)函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差．由导数公式表分别得出f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝，利用函数差的求导法则可得
(3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－.
规律方法　本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．
跟踪演练1　求下列函数的导数：
(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcos x；
(3)y＝ex·ln x；(4)y＝lg x－.
解　(1)y′＝－12x2；
(2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x；
(3)y′＝＋ex·ln x；
(4)y′＝＋.
要点二　求复合函数的导数
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝ln(x＋2)；
(2)y＝(1＋sin x)2；
解　(1)y＝ln u，u＝x＋2
∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝·1＝.
(2)y＝u2，u＝1＋sin x，
∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(1＋sin x)′
＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)．
规律方法　应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：
(1)中间变量的选取应是基本函数结构．
(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．
(4)善于把一部分表达式作为一个整体．
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．
跟踪演练2　(1)y＝e2x＋1；
(2)y＝(－2)2.
解　(1)y＝eu，u＝2x＋1，
∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)法一　∵y＝(－2)2＝x－4＋4，
∴y′＝x′－(4)′＋4′
＝1－4×x－＝1－.
法二　令u＝－2，
则yx′＝yu′·ux′＝2(－2)·(－2)′＝
2(－2)＝1－.
要点三　导数的应用
例3　求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．
解　设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为
k＝f′(x0)＝3x－2
故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0) ①
∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x－2x0 ②
又∵(1，－1)在切线上，
∴将②式和(1，－1)代入①式得
－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．
解得x0＝1或x0＝－.
故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)．
即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
规律方法　(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．
跟踪演练3　已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时速度．
解　∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2，
∴s′(t)＝－＋2·＋4t，
∴s′(3)＝－＋＋12＝，
即物体在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s.
1．下列结论不正确的是(　　)
A．若y＝3，则y′＝0
B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3
C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1
D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x
答案　D
解析　利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D项，∵y＝sin x＋cos x，
∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x.
2．函数y＝的导数是(　　)
A. B．
C． D．
答案　C
解析　y′＝′＝
＝.
3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2
答案　A
解析　∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
4．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
答案　ln 2－1
解析　设切点为(x0，y0)，
∵ y′＝，∴＝，
∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝×2＋b，∴b＝ln 2－1.
　求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
一、基础达标
1．设y＝－2exsin x，则y′等于(　　)
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
答案　D
解析　y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．
2．当函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝(　　)
A．a B．±a
C．－a D．a2
答案　B
解析　y′＝′＝＝，
由x－a2＝0得x0＝±a.
3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)
A．2 B．
C．－ D．－2
答案　D
解析　∵y＝＝1＋，
∴y′＝－.∴y′|x＝3＝－.
∴－a＝2，即a＝－2.
4．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为(　　)
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8) D．
答案　B
解析　y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
5．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．
答案　4
解析　依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，
f′(1)＝g′(1)＋2＝4.
6．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.
答案　1
解析　由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，
令x＝0，则f′(0)＝0，
∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
7．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；
(2)y＝x－sin cos .
解　(1)法一　y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.
法二　∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，
∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.
(2)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x，
∴y′＝x′－′＝1－cos x.
二、能力提升
8．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　B
解析　y′＝＝，故y′|＝，
∴曲线在点M处的切线的斜率为.
9．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A．[0，) B．[，)
C．(，] D．[，π)
答案　D
解析　y′＝－＝－，设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈[，π)．
10．(2013·江西)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
答案　2
解析　令t＝ex，则x＝ln t，所以函数为f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，所以f′(x)＝＋1，即f′(1)＝＋1＝2.
11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．
解　点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x)．由题意，所求直线方程的斜率k＝＝y′|x＝x0＝3x，即＝3x，解得x0＝0或x0＝3.
当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；
当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，
则所求直线方程是y－27＝27(x－3)，
即27x－y－54＝0.
综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.
12．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．
解　设切点为(x0，y0)，
则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，
∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16，
又切点(x0，y0)在切线上，
∴y0＝3(x－1)x0＋16，
即x－3x0＝3(x－1)x0＋16，
解得x0＝－2，
∴切线方程为9x－y＋16＝0.
三、探究与创新
13．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
(1)解　由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝， ①
又f′(x)＝a＋，
∴f′(2)＝， ②
由①，②得
解之得.
故f(x)＝x－.
(2)证明　设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
1．3　导数在研究函数中的应用
1．3.1　函数的单调性与导数
[学习目标]
1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．
3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
[知识链接]
　以前，我们用定义来判断函数的单调性．在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如何利用导数来判断函数的单调性？
答　根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减．
[预习导引]
　函数的单调性与导数的关系
(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
f′(x)＝0
常函数
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性
导数
单调递增
f′(x)≥0
单调递减
f′(x)≤0
常函数
f′(x)＝0
要点一　利用导数判断函数的单调性
例1　证明：函数f(x)＝在区间上单调递减．
证明　f′(x)＝，又x∈，
则cos x<0，sin x＞0，∴xcos x－sin x<0，
∴f′(x)<0，∴f(x)在上是减函数．
规律方法　关于利用导数证明函数单调性的问题：
(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．
(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.
跟踪演练1　证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数．
证明　∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝.
又0∴f′(x)＝>0，
故f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数．
要点二　利用导数求函数的单调区间
例2　求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36 x＋1；
(2)f(x)＝sin x－x(0(3)f(x)＝3x2－2ln x；
(4)f(x)＝x3－3tx.
解　(1)f′(x)＝ 6x2＋6x－36，
由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，
解得x< －3或x>2；
由f′(x)＜0解得－3故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
减区间是(－3,2)．
(2)f′(x)＝cos x－1.因为0＜x＜π，
所以cos x－1＜0恒成立，
故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)．
(3)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)>0，即2·＞0，
解得－＜x＜0或x＞.
又∵x＞0，∴x＞.
令f′(x)＜0，即2·＜0，
解得x＜－或0＜x＜.
又∵x＞0，∴0＜x＜.
∴f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(4) f′(x)＝3x2－3t，令f′(x) ≥0，得3x2－3t≥0，
即x2≥t.∴当t≤0时，f′(x) ≥0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)．
当t>0时，解x2≥t得x≥或x≤－；
由f′(x)≤0解得－≤x≤.
故函数f(x)的增区间是(－∞，－)和(，＋∞)，
减区间是(－，)．
规律方法　求函数的单调区间的具体步骤是
(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)＞0和f′(x)＜0；(4)定义域内满足f′(x)＞0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)＜0的区间为减区间．
跟踪演练2　求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2－ln x；
(2)f(x)＝x3－x2－x.
解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－，由f′(x)＝2x－＞0且x＞0，得x＞，
所以函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)＜0得x＜，又x∈(0，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为.
(2)f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)．
由f′(x)＞0得x＜－或x＞1；
由f′(x)＜0得－＜x＜1，
故函数f(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为.
要点三　已知函数单调性求参数的取值范围
例3　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．
解　f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．∵x2>0，
∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是(－∞，16]．
规律方法　已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．
跟踪演练3　设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．
解　∵f′(x)＝3ax2＋1，且f(x)有三个单调区间，
∴方程f′(x)＝3ax2＋1＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×1×3a＞0，∴a＜0.
∴a的取值范围为(－∞，0)．
1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是(　　)
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
答案　A
解析　∵x∈(0,6)时，f′(x)＝1＋＞0，∴函数f(x)在(0,6)上单调递增．
2．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案　D
解析　由导函数的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数；当0＜x＜2时，f′(x)＜0，即f(x)为减函数；当x＞2时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．
3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．a＝1
C．(－∞，1] D．(0,1)
答案　A
解析　∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，
∴不等式3x2－2ax－1＜0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.
4．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________，减区间为________．
答案　(2，＋∞)　(－∞，2)
解析　y′＝2x－4，令y′＞0，得x＞2；令y′＜0，得x＜2，
所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2)．
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
一、基础达标
1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－12．函数y＝x2－ln x的单调减区间是(　　)
A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1)
C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)
答案　A
解析　∵y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－，令y′<0，即x－<0，解得：0又∵x>0，∴03．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0时，f(x)是(　　)
A．增函数
B．减函数
C．常函数
D．既不是增函数也不是减函数
答案　A
解析　求函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)＜0，所以f′(x)＞0恒成立，故f(x)是增函数．
4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
答案　B
解析　显然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为增函数；
对于C，y′＝3x2－1＝3
故函数在，上为增函数，
在上为减函数；对于D，y′＝－1 (x＞0)．
故函数在(1，＋∞)上为减函数，
在(0,1)上为增函数．故选B.
5．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．
答案　∪[2,3)
6．函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为________．
答案　(－∞，－1)
解析　f′(x)＝，令f′(x)＜0得x＜－1或＜x＜2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．
7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数y＝f(x)的递增区间．
解　f′(x)＝3x2＋a.
∵(－5,5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，则－5,5是方程3x2＋a＝0的根，
∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75，
令f′(x)＞0，则3x2－75＞0，解得x＞5或x＜－5，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．
二、能力提升
8．如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
答案　A
解析　由f(x)与f′(x)关系可选A.
9．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有(　　)
A．f(x)＞g(x)
B．f(x)＜g(x)
C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)
答案　C
解析　∵f′(x)－g′(x)＞0，
∴(f(x)－g(x))′＞0，
∴f(x)－g(x)在 [a，b]上是增函数，
∴当a＜x＜b时f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，
∴f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．
10．(2013·大纲版)若函数f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围是________．
答案　[3，＋∞)
解析　因为f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，
故f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，
即a≥－2x在上恒成立．
令h(x)＝－2x，则h′(x)＝－－2，
当x∈时，h′(x)＜0，则h(x)为减函数，
所以h(x)＜h＝3，所以a≥3.
11．求下列函数的单调区间：
(1)y＝x－ln x；
(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.
解　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－，
由y′＞0，得x＞1；由y′＜0，得0＜x＜1.
∴函数y＝x－ln x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．
(2)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为.
∵y＝ln(2x＋3)＋x2，
∴y′＝＋2x＝＝.
当y′＞0，即－＜x＜－1或x＞－时，
函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递增；
当y′＜0，即－1＜x＜－时，
函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递减．
故函数y＝ln(2x＋3)＋x2的单调递增区间为，，单调递减区间为.
12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
解　(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，
∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，
知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.
∴即
解得b＝c＝－3.
故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
(2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x)＞0，
得x＜1－或x＞1＋；
令f′(x)＜0，得1－＜x＜1＋.
故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，单调递减区间为(1－，1＋)．
三、探究与创新
13．已知函数f(x)＝mx3＋nx2(m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．
(1)用关于m的代数式表示n；
(2)求函数f(x)的单调增区间．
解　(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，
又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.
(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，
∴f′(x)＝3mx2－6mx.
令f′(x)＞0，即3mx2－6mx＞0，
当m＞0时，解得x＜0或x＞2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；
当m＜0时，解得0＜x＜2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)．
综上，当m＞0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；
当m＜0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2).
1.3.2　函数的极值与导数
[学习目标]
1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．
2．掌握函数极值的判定及求法．
3．掌握函数在某一点取得极值的条件．
[知识链接]
　
在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？
答　以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.
[预习导引]
1．极值点与极值的概念
(1)极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值．
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．
要点一　求函数的极值
例1　求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值．
解　f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；
由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)


－

由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝.
当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.
规律方法　求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．
跟踪演练1　求函数f(x)＝＋3ln x的极值．
解　函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)

3

因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.
要点二　利用函数极值确定参数的值
例2　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．
解　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函数f(x)的极值点，
∴x＝±1是方程f′(x)＝0的两根，
即3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系，得
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，
当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0，
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
在(－1,1)上是减函数，
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
规律方法　(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．
跟踪演练2　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
解　因为f(x)在x＝－1时有极值0，
且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
所以即
解之得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
要点三　函数极值的综合应用
例3　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
解　(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
因为当x＞或x＜－时，f′(x)＞0；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；
单调递减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．
所以，当5－4＜a＜5＋4时，
直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
即方程f(x)＝a有三个不同的实根．所以，a的取值范围是(5－4，5＋4)．
规律方法　用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．
跟踪演练3　若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．
解　f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，
可知f(x)在(－1,1)上是减函数，
f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数．
f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，
f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.
要使函数f(x)只有一个零点，
只需4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)
或
即k＜－4或k＞4.
∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
1．下列关于函数的极值的说法正确的是(　　)
A．导数值为0的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值
D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
答案　D
解析　由极值的概念可知只有D正确．
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
答案　C
解析　在x＝x0的两侧，f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．
3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)
A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6
C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6
答案　D
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，
解得a＞6或a＜－3.
4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．
答案　9
解析　f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，所以a＝9.
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.
一、基础达标
1．
函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案　A
解析　当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．
2．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，
不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.
3．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
答案　D
解析　f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，
∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.
又a＞0，b＞0，∴a＋b≥2，∴2≤6，
∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，
∴ab的最大值为9.
4．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有(　　)
A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
答案　C
解析　由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0，当－1＜x＜3时，y′<0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．
5．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析　∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
6．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是___