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第三章三角恒等变换
3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.1　两角差的余弦公式
课时目标　1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.掌握两角差的余弦公式．
两角差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝____________________________，其中α、β为任意角．
一、选择题
1．cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝(　　)
A．－B.C．0D．1
2．化简cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα得(　　)
A．cosαB．cosβ
C．cos(2α＋β) D．sin(2α＋β)
3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得(　　)
A.B．－C.D．－
4．若cos(α－β)＝，cos2α＝，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为(　　)
A.B.C.D.
5．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是(　　)
A．－B.C.D.
6．若sinα＋sinβ＝1－，cosα＋cosβ＝，则cos(α－β)的值为(　　)
A.B．－C.D．1
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．cos15°的值是________．
8．若cos(α－β)＝，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________.
9．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是________．
10．已知α、β均为锐角，且sinα＝，cosβ＝，则α－β的值为________．
三、解答题
11．已知tanα＝4，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cosβ的值．
12．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．
能力提升
13．已知cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且<α<π，0<β<，求cos的值．
14．已知α、β、γ∈，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，求β－α的值．
1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.1　两角差的余弦公式
答案
知识梳理
cosαcosβ＋sinαsinβ
作业设计
1．C　2.B
3．A　[原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝.]
4．C　[sin(α－β)＝－(－<α－β<0)．sin2α＝，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝·＋·＝－，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.]
5．B　[∵sin(π＋θ)＝－，
∴sinθ＝，θ是第二象限角，
∴cosθ＝－.
∵sin＝－，∴cosφ＝－，
φ是第三象限角，
∴sinφ＝－.
∴cos(θ－φ)＝cosθcosφ＋sinθsinφ＝×＋×＝.]
6．B　[由题意知
①2＋②2⇒cos(α－β)＝－.]
7.
8.
解析　原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝.
9．－
解析　由
①2＋②2⇒2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1⇒cos(α－β)＝－.
10．－
解析　∵α、β∈，
∴cosα＝，sinβ＝，
∵sinα∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝·＋·＝，
∴α－β＝－.
11．解　∵α∈，tanα＝4，
∴sinα＝，cosα＝.
∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝.
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝.
12．解　∵<α－β<π，cos(α－β)＝－，
∴sin(α－β)＝.
∵π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－，
∴cos(α＋β)＝.
∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1.∵<α－β<π，π<α＋β<2π，∴<2β<，∴2β＝π，∴β＝.
13．解　∵<α<π，∴<<.
∵0<β<，∴－<－β<0，－<－<0.
∴<α－<π，－<－β<.
又cos(α－)＝－<0，
sin(－β)＝>0，
∴<α－<π，0<－β<.
∴sin(α－)＝＝.
cos(－β)＝＝.
∴cos＝cos[(α－)－(－β)]＝cos(α－)cos(－β)＋sin(α－)sin(－β)＝(－)×＋×＝.
14．解　由已知，得
sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.
平方相加得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.
∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，
∴β－α＝±.
∵sinγ＝sinβ－sinα>0，
∴β>α，∴β－α＝.