本文由 116116 收集发布,转载请注明出处,如有问题请联系我们!高中数学必修4:第31课时 简单的三角恒等变换 Word版含解析
第31课时 简单的三角恒等变换
课时目标
1.能够利用半角公式进行化简.
2.了解和差化积与积化和差公式,以及它与两角和与差公式的内在联系.
3.了解y=asinx+bcosx的函数的变换,并会求形如y=asinx+bcosx的函数的性质.
识记强化
1.半角公式:
sin2=,sin=±
cos2=,cos=±
tan2=,tan=±
根号前符号,由所在象限三角函数符号确定.
2.辅助角公式:asinx+bcosx=sin(x+φ),其中cosφ=,sinφ=.
课时作业
一、选择题
1.已知cosθ=-(-180°<θ<-90°),则cos=( )
A.- B.
C.- D.
答案:B
解析:因为-180°<θ<-90°,所以-90°<<-45°.又cosθ=-,所以cos===,故选B.
2.已知α∈,cosα=,则tan=( )
A.3 B.-3
C. D.-
答案:D
解析:因为α∈,且cosα=,所以∈,tan=-=-=-,故选D.
3.在△ABC中,若B=45°,则cosAsinC的取值范围是( )
A.[-1,1] B.
C. D.
答案:B
解析:在△ABC中,B=45°,所以cosAsinC=[sin(A+C)-sin(A-C)]=-sin(A-C),因为-1≤sin(A-C)≤1,所以≤cosAsinC≤,故选B.
4.若sin(α-β)sinβ-cos(α-β)cosβ=,且α是第二象限角,则tan等于( )
A.7 B.-7
C. D.-
答案:C
解析:∵sin(α-β)sinβ-cos(α-β)cosβ=,
∴cosα=-.
又α是第二象限角,∴sinα=,则tanα=-.
∴tan===.
5.函数f(x)=的值域为( )
A. B.
C. D.
答案:B
解析:f(x)===2sinx+2sin2x,
又-1≤sinx<1,∴f(x)∈.故选B.
6.在△ABC中,若sinAsinB=cos2,则△ABC是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.不等边三角形 D.直角三角形
答案:B
解析:sinAsinB=
2sinAsinB=1-cos(π-A-B)
cosAcosB+sinAsinB=1
cos(A-B)=1
A=B
∴是等腰三角形.
二、填空题
7.若3sinx-cosx=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),则φ等于________.
答案:-
解析:3sinx-cosx=2 sin,
所以φ=-.
8.已知sin=,则cos2=________.
答案:
解析:因为cos=sin=sin=.所以cos2===.
9.在△ABC中,若3cos2+5sin2=4,则tanAtanB=________.
答案:
解析:因为3cos2+5sin2=4,
所以cos(A-B)-cos(A+B)=0,
所以cosAcosB+sinAsinB-cosAcosB+sinAsinB=0,
即cosAcosB=4sinAsinB,所以tanAtanB=.
三、解答题
10.已知α为钝角,β为锐角,且sinα=,sinβ=,求cos.
解:∵α为钝角,β为锐角,sinα=,sinβ=,
∴cosα=-,cosβ=.
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-×+×=.
又∵<α<π,0<β<,∴0<α-β<π,0<<.
∴cos= =.
11.已知sin(2α+β)=5sinβ.求证:2tan(α+β)=3tanα.
证明:由条件得sin[(α+β)+α]
=5sin[(α+β)-α],两边分别展开得
sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα
=5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα.
整理得:
4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα.
两边同除以cos(α+β)cosα得:
2tan(α+β)=3tanα.
能力提升
12.要使sinα+cosα=有意义,则应有( )
A.m≤ B.m≥-1
C.m≤-1或m≥ D.-1≤m≤
答案:D
解析:sinα+cosα=2=
2sin=,所以sin=,由于-1≤sin≤1,所以-1≤≤1,所以-1≤m≤.
13.已知函数f(x)=sinx·(2cosx-sinx)+cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若<α<,且f(α)=-,求sin2α的值.
解:(1)因为f(x)=sinx·(2cosx-sinx)+cos2x,
所以f(x)=sin2x-sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=sin,
所以函数f(x)的最小正周期是π.
(2)f(α)=-,即sin=-,sin=-.
因为<α<,所以<2α+<,
所以cos=-,
所以sin2α=sin
=sin-cos
=×-×
=.
课时目标
1.能够利用半角公式进行化简.
2.了解和差化积与积化和差公式,以及它与两角和与差公式的内在联系.
3.了解y=asinx+bcosx的函数的变换,并会求形如y=asinx+bcosx的函数的性质.
识记强化
1.半角公式:
sin2=,sin=±
cos2=,cos=±
tan2=,tan=±
根号前符号,由所在象限三角函数符号确定.
2.辅助角公式:asinx+bcosx=sin(x+φ),其中cosφ=,sinφ=.
课时作业
一、选择题
1.已知cosθ=-(-180°<θ<-90°),则cos=( )
A.- B.
C.- D.
答案:B
解析:因为-180°<θ<-90°,所以-90°<<-45°.又cosθ=-,所以cos===,故选B.
2.已知α∈,cosα=,则tan=( )
A.3 B.-3
C. D.-
答案:D
解析:因为α∈,且cosα=,所以∈,tan=-=-=-,故选D.
3.在△ABC中,若B=45°,则cosAsinC的取值范围是( )
A.[-1,1] B.
C. D.
答案:B
解析:在△ABC中,B=45°,所以cosAsinC=[sin(A+C)-sin(A-C)]=-sin(A-C),因为-1≤sin(A-C)≤1,所以≤cosAsinC≤,故选B.
4.若sin(α-β)sinβ-cos(α-β)cosβ=,且α是第二象限角,则tan等于( )
A.7 B.-7
C. D.-
答案:C
解析:∵sin(α-β)sinβ-cos(α-β)cosβ=,
∴cosα=-.
又α是第二象限角,∴sinα=,则tanα=-.
∴tan===.
5.函数f(x)=的值域为( )
A. B.
C. D.
答案:B
解析:f(x)===2sinx+2sin2x,
又-1≤sinx<1,∴f(x)∈.故选B.
6.在△ABC中,若sinAsinB=cos2,则△ABC是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.不等边三角形 D.直角三角形
答案:B
解析:sinAsinB=
2sinAsinB=1-cos(π-A-B)
cosAcosB+sinAsinB=1
cos(A-B)=1
A=B
∴是等腰三角形.
二、填空题
7.若3sinx-cosx=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),则φ等于________.
答案:-
解析:3sinx-cosx=2 sin,
所以φ=-.
8.已知sin=,则cos2=________.
答案:
解析:因为cos=sin=sin=.所以cos2===.
9.在△ABC中,若3cos2+5sin2=4,则tanAtanB=________.
答案:
解析:因为3cos2+5sin2=4,
所以cos(A-B)-cos(A+B)=0,
所以cosAcosB+sinAsinB-cosAcosB+sinAsinB=0,
即cosAcosB=4sinAsinB,所以tanAtanB=.
三、解答题
10.已知α为钝角,β为锐角,且sinα=,sinβ=,求cos.
解:∵α为钝角,β为锐角,sinα=,sinβ=,
∴cosα=-,cosβ=.
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-×+×=.
又∵<α<π,0<β<,∴0<α-β<π,0<<.
∴cos= =.
11.已知sin(2α+β)=5sinβ.求证:2tan(α+β)=3tanα.
证明:由条件得sin[(α+β)+α]
=5sin[(α+β)-α],两边分别展开得
sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα
=5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα.
整理得:
4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα.
两边同除以cos(α+β)cosα得:
2tan(α+β)=3tanα.
能力提升
12.要使sinα+cosα=有意义,则应有( )
A.m≤ B.m≥-1
C.m≤-1或m≥ D.-1≤m≤
答案:D
解析:sinα+cosα=2=
2sin=,所以sin=,由于-1≤sin≤1,所以-1≤≤1,所以-1≤m≤.
13.已知函数f(x)=sinx·(2cosx-sinx)+cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若<α<,且f(α)=-,求sin2α的值.
解:(1)因为f(x)=sinx·(2cosx-sinx)+cos2x,
所以f(x)=sin2x-sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=sin,
所以函数f(x)的最小正周期是π.
(2)f(α)=-,即sin=-,sin=-.
因为<α<,所以<2α+<,
所以cos=-,
所以sin2α=sin
=sin-cos
=×-×
=.
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