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  • 资源类别:高二教案
  • 所属教版:高二上册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:173k
  • 浏览次数:1234
  • 整理时间:2021-02-01
  • 课题:“点差法”在解析几何题中的应用
    课时:18
    课型:复习课
    复习引入:
    在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法:设弦的两个端点坐标分别为,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”,此法有着不可忽视的作用,其特点是巧代斜率.本文列举数例,以供参考.
    1求弦中点的轨迹方程
    例1 已知椭圆,求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
    解 设弦的两个端点分别为,的中点为.
    则,(1),(2)
    得:,
    .
    又,.
    弦中点轨迹在已知椭圆内,所求弦中点的轨迹方程为(在已知椭圆内).
    例2 直线(是参数)与抛物线的相交弦是,则弦的中点轨迹方程是 .
    解 设,中点,则.
    ,过定点,.
    又,(1),(2)
    得:,
    .
    于是,即.
    弦中点轨迹在已知抛物线内,所求弦中点的轨迹方程为(在已知抛物线内).
    2求曲线方程
    例3 已知的三个顶点都在抛物线上,其中,且的重心是抛物线的焦点,求直线的方程.
    解 由已知抛物线方程得.设的中点为,则三点共线,且,分所成比为,于是,
    解得,.
    设,则.
    又,(1),(2)
    得:,.
    所在直线方程为,即.
    例4 已知椭圆的一条准线方程是,有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点,若的中点为,求椭圆方程.
    解 设,则,且,(1),(2)得:,,,,(3)又,,(4)
    而,(5)由(3),(4),(5)可得,
    所求椭圆方程为.
    3求直线的斜率
    例5 已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.(1)求证:;(2)若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率.
    (1)证 略.
    (2)解 ,设线段的中点为.
    又在椭圆上, ,(1),(2)
    得:,
    .
    直线的斜率,直线的方程为.令,得,即,直线的斜率.
    4确定参数的范围
    例6 若抛物线上存在不同的两点关于直线对称,求实数的取值范围.
    解 当时,显然满足.
    当时,设抛物线上关于直线对称的两点分别为,且的中点为,则,(1),(2)得:,,
    又,.
    中点在直线上,,于是.中点在抛物线区域内
    ,即,解得.
    综上可知,所求实数的取值范围是.
    5证明定值问题
    例7 已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦,是的中点,为椭圆的中心.求证:直线和直线的斜率之积是定值.
    证明 设且,
    则,(1),(2)
    得:,
    ,.
    又,,(定值).
    6处理存在性问题
    例8 已知双曲线,过能否作直线,使与双曲线交于,两点,且是线段的中点,这样的直线如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.
    解 假设这样的直线存在,设的坐标分别为,则,,又,(1),(2)
    得:,

    的斜率
    又直线过三点,的方程为 ,即.
    但若将代入整理得方程,而此方程无实数解,所以满足题设的直线不存在.
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