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高中同步创优单元测评
A 卷 数 学
班级：________　姓名：________　得分：________
第一章　集合与函数概念(二)
(函数的概念与基本性质)
名师原创·基础卷]
(时间：120分钟　满分：150分)
第Ⅰ卷　(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A. B. C. D.
2．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2的公共点有(　　)
A．0个 B．1个 C．0个或1个 D．不能确定
3．函数y＝x2－4x＋1，x∈2,5]的值域是(　　)
A．1,6] B．－3,1] C．－3,6] D．－3，＋∞)
4．已知函数f(x)＝则f(f(－2))的值是(　　)
A．2 B．－2 C．4 D．－4
5．已知函数f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是常数且a>0，下列结论正确的是(　　)
A．当x＝2a时，有最小值0 B．当x＝3a时，有最大值0
C．无最大值也无最小值 D．有最小值，但无最大值
6．定义域为R的函数y＝f(x)的值域为a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为(　　)
A．2a，a＋b] B．a，b]
C．0，b－a] D．－a，a＋b]
7．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是(　　)
A．3x＋2 B．3x＋1 C．3x－1 D．3x＋4
8．设f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，若x1<0，且x1＋x2>0，则(　　)
A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)9．已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2－4x＋k2的图象大致为(　　)
10．若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有(　　)
A．最小值－5 B．最大值－5
C．最小值－1 D．最大值－3
11．已知f(x)为奇函数，在区间3,6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝(　　)
A．－15 B．－13 C．－5 D．5
12．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．
14．已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，则下列各式恒成立的是________．
①f(0)＝0；②f(3)＝3f(1)；③f＝f(1)；④f(－x)·f(x)<0.
15．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
16．若函数f(x)＝x2－(2a－1)x＋a＋1是(1,2)上的单调函数，则实数a的取值范围为______________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
已知二次函数f(x)＝x2＋2(m－2)x＋m－m2.
(1)若函数的图象经过原点，且满足f(2)＝0，求实数m的值；
(2)若函数在区间2，＋∞)上为增函数，求m的取值范围．
18．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断并证明f(x)的奇偶性；
(3)求证：f＝－f(x)．
19．(本小题满分12分)
已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
(1)求函数g(x)的定义域；
(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．
20．(本小题满分12分)
已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x.
(1)当x<0时，求f(x)的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象，并指出其单调区间．
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)为增函数，f(x·y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f＝f(x)－f(y)；
(2)若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求a的取值范围．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝，x∈1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
详解答案
第一章　集合与函数概念(二)
(函数的概念与基本性质)
名师原创·基础卷]
1．D　解析：由2x－3>0得x>.
2．C　解析：如果x＝2与函数y＝f(x)有公共点，则只有一个公共点，因为自变量取一个值只对应一个函数值；若无交点，则没有公共点，此时的x＝2不在y＝f(x)的定义域内．
3．C　解析：函数y＝(x－2)2－3在2，＋∞)上是增函数，所以最小值为f(2)＝－3，又x∈2,5]，故最大值为f(5)＝6.
4．C　解析：∵x＝－2<0，∴f(－2)＝(－2)2＝4.
又4>0，∴f(f(－2))＝f(4)＝4.
5．C　解析：由f(x)＝可画出简图．
分析知C正确．
6．B　解析：y＝f(x＋a)可由y＝f(x)的图象向左或向右平移|a|个单位得到，因此，函数y＝f(x＋a)的值域与y＝f(x)的值域相同．
7．C　解析：设x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，
∴f(x)＝3x－1，故选C.
解题技巧：采用换元法求函数解析式是常用方法．换元时，一定注意自变量的取值范围的变化情况．
8．C　解析：x1<0，且x1＋x2>0，∴x1>－x2.
又f(x)在(－∞，0)上为减函数，∴f(x1)又f(x)是偶函数，∴f(x1)9．D　解析：由反比例函数的图象知k<0，∴二次函数开口向下，排除A，B，又对称轴为x＝<0，排除C.
10．C　解析：由已知对任意x∈(0，＋∞)，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2≤5.
对任意x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，且φ(x)，g(x)都是奇函数，
有f(－x)＝aφ(－x)＋bg(－x)＋2≤5.即－aφ(x)－bg(x)＋2≤5，
∴aφ(x)＋bg(x)≥－3.
∴f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2＝－1.
11．A　解析：因为函数在3,6]上是增函数，所以f(6)＝8，f(3)＝－1，又函数f(x)为奇函数，所以2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×8＋1＝－15，故选A.
12．D　解析：∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，
∴＝<0，即或
因为f(x)是奇函数且在(0，＋∞)上是增函数，故f(x)在(－∞，0)上是增函数．
由f(1)＝0知f(－1)＝0，
∴可化为∴0可化为∴－113.　解析：由－1<2x＋1<0，解得－1解题技巧：已知f(x)的定义域为a，b]，求f(g(x))的定义域，可从a≤g(x)≤b中解得x的取值范围，即为f(g(x))的定义域．
14．①②③　解析：令x＝y＝0，得f(0)＝0；令x＝2，y＝1，得f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)；
令x＝y＝，得f(1)＝2f，∴f＝f(1)；
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，
∴f(－x)·f(x)＝－f(x)]2≤0.
15．－2x2＋4　解析：f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2为偶函数，则2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.
又f(x)的值域为(－∞，4]，∴a≠0，b＝－2，∴2a2＝4.
∴f(x)＝－2x2＋4.
16．a≥或a≤　解析：函数f(x)的对称轴为x＝＝a－，
∵函数在(1,2)上单调，∴a－≥2或a－≤1，即a≥或a≤.
17．解：(1)∵f(0)＝0，f(2)＝0，∴∴m＝1.
(2)∵y＝f(x)在2，＋∞)为增函数，
∴对称轴x＝－≤2，
∴m≥0.
18．(1)解：由1－x2≠0得x≠±1，
∴f(x)的定义域为{x|x≠±1，x∈R}．
(2)解：f(x)是偶函数，证明如下：
设x∈{x|x≠±1，x∈R}，则－x∈{x|x≠±1，x∈R}．
∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(3)证明：∵f＝＝＝＝－＝
－f(x)，∴f＝－f(x)成立．
19．解：(1)由题意可知
∴解得故函数f(x)的定义域为.
(2)由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，
∴f(x－1)≤－f(3－2x)．
∵f(x)为奇函数，∴f(x－1)≤f(2x－3)．
而f(x)在(－2,2)上单调递减，
∴解得＜x≤2.
∴g(x)≤0的解集为.
20．解：(1)当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.
又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∴当x<0时，f(x)＝x2＋2x.
(2)由(1)知，f(x)＝
作出f(x)的图象如图所示．
由图得函数f(x)的递减区间是(－∞，－1]，0,1]．
f(x)的递增区间是－1,0]，1，＋∞)．
21．(1)证明：∵f(x)＝f＝f＋f(y)(y≠0)，
∴f＝f(x)－f(y)．
(2)解：∵f(3)＝1，∴f(9)＝f(3·3)＝f(3)＋f(3)＝2.
∴f(a)>f(a－1)＋2＝f(a－1)＋f(9)＝f 9(a－1)]．
又f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，
∴∴122．解：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，
设x2>x1>1，则f(x2)－f(x1)＝x2＋＋2－
＝(x2－x1)＋＝(x2－x1).
∵x2>x1>1，
∴x2－x1>0，<，1－>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，
∴f(x)在1，＋∞]上单调递增．
∴f(x)在区间1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(2)在区间1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立，
等价于x2＋2x＋a>0恒成立．
设y＝x2＋2x＋a，x∈1，＋∞)．
∵y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在1，＋∞)上单调递增，
∴当x＝1时，ymin＝3＋a.
于是，当且仅当ymin＝3＋a>0时，f(x)>0恒成立．
∴a>－3.
解题技巧：不等式的恒成立问题常转化为函数的最值问题，分离参数法是求解此类问题的常用方法．