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课时训练10　等差数列前n项和的性质与应用
一、等差数列前n项和性质的应用
1.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=2,S4=10,则S6等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12 B.18 C.24 D.42
答案:C
解析:S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,即2,8,S6-10成等差数列,S6=24.
2.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
答案:C
解析:由题意得S偶-S奇=5d=15,∴d=3.或由解方程组求得d=3,故选C.
3.等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-2 015,=2,则S2 015=(　　)
A.2 015 B.-2 015 C.0 D.1
答案:B
解析:由等差数列前n项和性质可知,数列是等差数列,设公差为d,
则=2d=2,所以d=1.
所以+2014d=-2015+2014=-1,
所以S2015=-2015.
二、等差数列前n项和中的最值问题
4.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题中错误的是(　　)
A.若d<0,则数列{Sn}有最大项
B.若数列{Sn}有最大项,则d<0
C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意n∈N*,均有Sn>0
D.若对任意n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列
答案:C
解析:由等差数列的前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d=n2+n知,Sn对应的二次函数有最大值时d<0.
故若d<0,则Sn有最大值,A,B正确.
又若对任意n∈N*,Sn>0,则a1>0,d>0,{Sn}必为递增数列,D正确.
而对于C项,令Sn=n2-2n,则数列{Sn}递增,但S1=-1<0.C不正确.
5.(2015河南南阳高二期中,10)已知数列{an}为等差数列,若<-1,且它们的前n项和Sn有最大值,则使得Sn>0的n的最大值为(　　)
A.21 B.20 C.19 D.18
答案:C
解析:由<-1,可得<0,
由它们的前n项和Sn有最大值可得数列的公差d<0,∴a10>0,a11+a10<0,a11<0,
∴a1+a19=2a10>0,a1+a20=a11+a10<0.
∴使得Sn>0的n的最大值n=19.故选C.
6.设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立,则k的值为(　　)
A.22 B.21 C.20 D.19
答案:C
解析:对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立,即Sk为Sn的最大值.
因为a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,
所以a4=33,a5=31,
故公差d=-2,an=a4+(n-4)d=41-2n,
则n=1时,a1=39,
所以Sn=n2+n=-n2+40n=-(n-20)2+400,即当n=20时Sn取得最大值,从而满足对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立的k的值为20.
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2 014>0,S2 015<0,则当n=　　　　　时,Sn最大. 
答案:1 007
解析:由等差数列的性质知,S2015=2015a1008<0,
所以a1008<0.
又S2014==1007(a1007+a1008)>0,
所以a1007+a1008>0,而a1008<0,故a1007>0.
因此当n=1007时,Sn最大.
8.已知数列{an},an∈N*,前n项和Sn=(an+2)2.
(1)求证:{an}是等差数列;
(2)设bn=an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.
(1)证明:由已知得8Sn=(an+2)2,
则8Sn-1=(an-1+2)2(n≥2),
两式相减,得8an=(an+2)2-(an-1+2)2,
即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.
因为an∈N*,所以an+an-1>0,
所以an-an-1=4(n≥2),
故数列{an}是以4为公差的等差数列.
(2)解:令n=1,得S1=a1=(a1+2)2,解得a1=2.
由(1)知an=2+(n-1)×4=4n-2,
所以bn=an-30=2n-31.
由bn=2n-31<0,得n<,
即数列{bn}的前15项为负值,n≥16时bn>0.
设数列{bn}的前n项和为Tn,
则T15最小,其值为T15=15×(-29)+×2=-225.
三、与数列{|an|}前n项和有关的问题
9.已知数列{an}的通项公式an=5-n,则当|a1|+|a2|+…+|an|=16时,n=　　　　　. 
答案:8
解析:由an=5-n,可得n<5时,an>0;
n=5时,a5=0;
n>5时,an<0,
而a1+a2+…+a5=10,
∴|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+an)=16.
∴20+=16,解得n=8.
10.在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且5a3·a1=(2a2+2)2.
(1)求d,an;
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
解:(1)因为5a3·a1=(2a2+2)2,所以d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4.故an=-n+11或an=4n+6.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.
因为d<0,所以由(1)得d=-1,an=-n+11.
则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n;
当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.
综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=
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1.若等差数列{an}的前3项和S3=9,则a2等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.4 C.5 D.6
答案:A
解析:S3==9,
∴a1+a3=2a2=6.∴a2=3.故选A.
2.设{an}是公差为-2的等差数列,如果a1+a4+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99等于(　　)
A.-182 B.-78 C.-148 D.-82
答案:D
解析:由a1+a4+a7+…+a97=50,①
令a3+a6+a9+…+a99=x,②
②-①得2d×33=x-50,而d=-2,
∴x=-132+50=-82.故选D.
3.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值为确定的常数,则下列各数中也是常数的是(　　)
A.S7 B.S8 C.S13 D.S15
答案:C
解析:a2+a4+a15=a1+d+a1+3d+a1+14d
=3(a1+6d)
=3a7=3×S13.
于是可知S13是常数.
4.设{an}为等差数列,a1>0,a6+a7>0,a6·a7<0,则使其前n项和Sn>0成立的最大自然数n是(　　)
A.11 B.12 C.13 D.14
答案:B
解析:∵a6+a7=a1+a12,
∴S12==6(a6+a7)>0.
由已知得a6>0,a7<0,又S13=13a7<0,
∴使Sn>0成立的最大自然数n为12,故选B.
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=1,S3n-Sn=5,则S4n=(　　)
A.4 B.6 C.10 D.15
答案:C
解析:由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等差数列,设公差为d,
则S2n-Sn=Sn+d,S3n-S2n=Sn+2d.
∴S3n-Sn=2Sn+3d=5.
又∵Sn=1,∴d=1.
∴S4n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)+(S4n-S3n)
=1+2+3+4=10.
6.等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=　　　　. 
答案:10
解析:S9=S4,∴a5+a6+a7+a8+a9=0,
∴a7=0,从而a4+a10=2a7=0,∴k=10.
7.等差数列前12项和为354,在前12项中的偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,则公差d=　　　　　. 
答案:5
解析:由已知
解得
又∵此等差数列共12项,
∴S偶-S奇=6d=30.∴d=5.
8.等差数列{an}与{bn},它们的前n项和分别为An,Bn,若,则=　　　　. 
答案:
解析:.
9.在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn有最大值,并求出它的最大值.
解:设等差数列{an}的公差为d,∵a1=20,S10=S15,
∴10a1+d=15a1+d.
解得d=-.
解法一:由以上得an=20-(n-1)=-n+.
由an≥0得-n+≥0,∴n≤13.
所以数列前12项或前13项的和最大,其最大值为S12=S13=12a1+d=130.
解法二:由以上得Sn=20n+
=-n2+n+20n=-n2+n
=-(n2-25n)=-.
∴当n=12或13时,Sn最大,最大值为S12=S13=130.
10.等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.
解:等差数列{an}的公差d==3,
∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.
由an<0,得3n-63<0,即n<21.
∴数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.
设Sn,Sn'分别表示数列{an},{|an|}的前n项和,
当n≤20时,Sn'=-Sn
=-
=-n2+n;
当n>20时,
Sn'=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20
=-60n+×3-2×
=n2-n+1260.
∴数列{|an|}的前n项和为
Sn'=