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第三章章末复习课
【课时目标】
1．熟练掌握一元二次不等式的解法，并能解有关的实际应用问题．
2．掌握简单的线性规划问题的解法．
3．能用基本不等式进行证明或求函数最值．
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一、选择题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a－b<0B．0<<1
C.a＋b
答案　C
2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解是[－，－]，则不等式x2－bx－a<0的解是(　　)
A．(2,3)B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C．(，)D．(－∞，)∪(，＋∞)
答案　A
解析　由题意知，a<0，＝－，－＝，
∴a＝－6，b＝5.
∴x2－5x＋6<0的解是(2,3)．
3．若变量x，y满足则z＝3x＋2y的最大值是(　　)
A．90B．80C．70D．40
答案　C
解析　作出可行域如图所示.
由于2x＋y＝40、x＋2y＝50的斜率分别为－2、－，而3x＋2y＝0的斜率为－，故线性目标函数的倾斜角大于2x＋y＝40的倾斜角而小于x＋2y＝50的倾斜角，由图知，3x＋2y＝z经过点A(10,20)时，z有最大值，z的最大值为70.
4．不等式≥2的解为(　　)
A．[－1,0)
B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)
答案　A
解析　≥2⇔－2≥0⇔≥0
⇔≤0⇔
⇔－1≤x<0.
5．设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么(　　)
A．a＋b有最小值2(＋1)
B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最大值＋1
D．ab有最小值2(＋1)
答案　A
解析　∵ab－(a＋b)＝1，ab≤()2，
∴()2－(a＋b)≥1，
它是关于a＋b的一元二次不等式，
解得a＋b≥2(＋1)或a＋b≤2(1－)(舍去)．
∴a＋b有最小值2(＋1)．
又∵ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2，
∴ab－2≥1，它是关于的一元二次不等式，
解得≥＋1，或≤1－(舍去)，
∴ab≥3＋2，即ab有最小值3＋2.
6．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为(　　)
A.B.C.D．4
答案　A
解析　
不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax＋by＝z(a>0，b>0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值12，
即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，而＋＝(＋)·＝＋(＋)≥＋2＝(a＝b＝时取等号)．
二、填空题
7．已知x∈R，且|x|≠1，则x6＋1与x4＋x2的大小关系是________．
答案　x6＋1>x4＋x2
解析　x6＋1－(x4＋x2)
＝x6－x4－x2＋1
＝x4(x2－1)－(x2－1)
＝(x2－1)(x4－1)
＝(x2－1)2(x2＋1)
∵|x|≠1，∴x2－1>0，∴x6＋1>x4＋x2.
8．若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
答案　[－1,0]
解析　由f(x)＝的定义域为R.
可知2x2－2ax－a≥1恒成立，即x2－2ax－a≥0恒成立，则Δ＝4a2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
9．若x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为____．
答案　3
解析　由x－2y＋3z＝0，得y＝，将其代入，
得≥＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”，∴的最小值为3.
10．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b/万吨
c/百万元
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
答案　15
解析　设购买A、B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则z＝3x＋6y.
由题意可得约束条件为
作出可行域如图所示，由图可知，目标函数z＝3x＋6y在点A(1,2)处取得最小值，zmin＝3×1＋6×2＝15.
三、解答题
11．已知关于x的不等式<0的解集为M.
(1)若3∈M，且5∉M，求实数a的取值范围．
(2)当a＝4时，求集合M.
解　(1)∵3∈M，∴<0，解得a<或a>9；
若5∈M，则<0，
解得a<1或a>25.
则由5∉M，知1≤a≤25，
因此所求a的范围是1≤a<或9(2)当a＝4时，<0.
<0⇔或.
⇔或
⇔∴M＝{x|x<－2或12．当x>3时，求函数y＝的值域．
解　∵x>3，∴x－3>0.
∴y＝＝
＝2(x－3)＋＋12≥2＋12
＝24.
当且仅当2(x－3)＝，
即x＝6时，上式等号成立，
∴函数y＝的值域为[24，＋∞)．
【能力提升】
13．设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是(　　)
A．1B．2C．3D．4
答案　D
解析　a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4.
当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝，b＝时取等号．
14．若关于x的不等式(2x－1)2答案　(，]
解析　由(2x－1)20，整理不等式可得(4－a)x2－4x＋1<0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a>0，即a<4，故0即亦即<解得1．不等式是高中数学的重要内容，其中蕴含着许多重要的思想方法，是高考考查的重点．
2．本章内容主要有以下四个方面：①不等式的性质，②一元二次不等式的解法，③简单的线性规划问题，④基本不等式及应用．